Теория дифференциальных уравнений и приложения

Активные исследования краевых задач для уравнений, не разрешенных относительно старшей производной, начались после выхода в свет знаменитой статьи С.Л. Соболева (1954). В настоящее время имеется большое число уравнений соболевского типа, возникающих при решении различных прикладных задач гидродинамики, физики атмосферы, физики плазмы и др. Изучению таких уравнений посвящено огромное число работ. Однако в этой области много вопросов остаются открытыми. Исследования, связанные с неклассическими задачами (нелокальными задачами, задачами с внутренними условиями сопряжения, задачами с интегральными условиями) для дифференциальных уравнений актуальны как с точки зрения построения общей теории дифференциальных уравнений, так и с точки зрения математического моделирования, поскольку неклассические задачи, неклассические дифференциальные уравнения возникают при моделировании многих процессов механики, физики, электродинамики, биологии и т.д. В рамках проекта планируется продолжить исследования разрешимости прямых и обратных задач для таких уравнений. Целью проекта является решение ряда фундаментальных проблем математического и функционального анализа, дифференциальных уравнений, вариационного исчисления, теории управления и вычислительной математики, непосредственно связанных с математическим моделированием процессов в механике, геофизике, химии, биологии и других естественнонаучных дисциплинах. Предполагается: – изучить разрешимость и вопросы корректности краевых задач для классов уравнений и систем с частными производными, оценить индексы задач и интервалы существования решений, исследовать качественные и асимптотические свойства решений; – на основе теории гиперболических термодинамически согласованных (ГТС) систем разработать новые модели сложных сплошных сред и физических процессов, обеспечивающие разрешимость начально-краевых задач для определяющих дифференциальных уравнений и допускающие применение современных численных методов; – предложить варианты модификаций асимптотического метода усреднения Крылова–Боголюбова, имеющие нелокальный характер и применимые к изучению параметрических возмущений для уравнений в бесконечномерных пространствах; – изучить нелинейные возмущения динамических систем с неограниченными операторами при условии, что абсолютно непрерывен спектр задачи, получающейся после отделения времени в невозмущенной системе, а соответствующая группа решений не принадлежит классу C 0; – исследовать связанную с актуальными вопросами «сверхустойчивости» проблему стабилизации к нулю за конечное время решений начально-краевых задач для широкого класса гиперболических систем; – исследовать задачи устойчивости и дихотомии для классов систем функционально-дифференциальных уравнений, оценить области притяжения стационарных решений и скорости стабилизации решений на бесконечности; – провести численные и теоретические исследования задач идентификации и управления решениями систем дифференциально-разностных уравнений; – разработать методы для численного анализа свойств решений функционально-дифференциальных уравнений и реализовать их в виде комплексов программ для приближенного решения прикладных задач механики, химии, биологии, медицины и др. – изучить полунепрерывность снизу интегральных функционалов в задачах вариационного исчисления.