Математическое моделирование поведения неидеальных сред с границами раздела в природных и технических системах

Цель исследования: получение новых знаний в области математического моделирования поведения неидеальных сред с границами раздела в природных и технических системах. Процессы в неоднородных средах, происходящие при наличии поверхностей раздела, в частности свободных границ, – весьма богатый и своеобразный раздел механики. Подобные задачи возникают в химической и пищевой промышленности, металлургии, гидрофизике, экологии, космическом материаловедении и других отраслях. Достаточно упомянуть процессы термостабилизации энергетических установок с кризисными явлениями (испарение, кипение, образование сухих пятен), а также жидкостного охлаждения электронных устройств, задачи миниатюризации устройств, используемых в медицине и системах жизнеобеспечения на борту МКС, выращивание кристаллов, нанесение покрытий, конвективных течений различной природы и т.д. Здесь необходимо привлекать новые математические модели механики жидких сред с непостоянными коэффициентами переноса. Кроме того, более сложные условия на границах раздела (например, при испарении) требуют создания (или модификации) новых численных алгоритмов решения таких задач. Построение точной теории и вычислительных алгоритмов для задач этого класса представляет собой значительные трудности. При решении конкретных задач необходим учет всех физических факторов и геометрий области течения: сложные граничные условия, высокий порядок систем, большое количество безразмерных параметров. Поэтому поставленные задачи в полном объеме еще не изучались как в нашей стране, так и за рубежом. Отметим также, что для решения этих задач на ЭВМ необходим широкий класс точных (тестовых) решений, отражающих ту или иную физическую сущность. Появление новых моделей приводит к задачам исследования их симметричных свойств, построения точных решений, исследования их устойчивости аналитическими и численными методами. Основными направлениями исследований являются: построение точных решений нелинейных уравнений математической физики, изучение симметрий и дифференциальных связей уравнений с частными производными, исследование устойчивости различных состояний в природных и технических системах, испытывающих внешние воздействия, на основе точных решений и методами прямого численного моделирования. Динамика экосистем зависит от метеоусловий и антропогенных воздействий, например, для выработки научно-обоснованных мероприятий по сохранению качества водных ресурсов необходимы прогнозные методики, основанные на математических моделях. В условиях летней температурной стратификации в озерах возникает разделение водной толщи на верхнюю перемешиваемую зону эпилимниона и нижнюю гидродинамически стабильную зону гиполимниона. Однако волны, течения и турбулентные потоки, создаваемые ветром у поверхности, способны порождать периодические колебания водных масс ниже зоны термоклина. Возникает задача комплексного изучения трехмерной структуры в стратифицированном по температуре и солености меромектическом озере. Оно включает в себя теоретические модели, численные эксперименты и натурные исследования. Аналогичные задачи возникают и при изучении динамики вечной мерзлоты. Здесь также необходимо проводить анализ сопряженных задач. Отдельное направление исследований в рамках предлагаемого проекта составляют процессы, протекающие в геосредах. Поверхности раздела в этом случае имеют принципиально важное значение. Одной из наиболее актуальных задач является моделирование геологических разломов. Разломы можно считать поверхностями, вдоль которых нарушается сплошность слоев. Модели разломов представляют собой конечную цель интерпретации сейсмических данных, которые впоследствии используются для гидродинамического моделирования при оценке запасов углеводородов и определения оптимальной стратегии разработки. В зависимости от структуры разломы могут экранировать движение жидкой фазы, даже в случае высокой проницаемости ненарушенных пород, или быть чрезвычайно высокопроводящими каналами в случае низкопроницаемых коллекторов. Задача повышения достоверности и детальности описания строения разломов позволит существенно повысить эффективность разработки углеводородов. В рамках этого направления целесообразно развивать метод моделирования, основанный на представлении о геосреде как блочной структуре с упругими или жесткими блоками и податливыми прослойками, флюидонасыщенными и имеющими сложные реологические свойства. Еще один метод основан на представлении о структурно неоднородном геоматериале как о континууме Коссера, в котором наряду с поступательными степенями свободы рассматриваются независимые вращения частиц. В технических системах теория Коссера служит для описания деформирования материалов, неоднородных как на макроуровне (композитов, сыпучих и пористых сред) и мезоуровне (микрополярных пластин и оболочек), так и на микроуровне (жидкие кристаллы). Таким образом, разработка математических методов на основе теории континуума Коссера позволит получить продвижение в исследовании многих процессов, протекающих в природных и технических системах. Выполнение предложенных в проекте задач позволит: 1) иметь широкий набор точных нетривиальных решений уравнений сопряженных моделей неоднородных сред, которые будут использованы как «тесты» при численных расчетах и как решения, описывающие основные состояния при изучении устойчивости режимов в технических и природных системах; 2) решить вопрос о стабилизации возможных неустойчивостей в различных процессах; 3) исследовать трехмерную структуру меромектического озера с учетом внутренних волн и распределением примесей, оценить влияние внешних температурных воздействий на динамику вечной мерзлоты; 4) продвинуться в понимании физических аспектов многих процессов, протекающих в природных и технических системах. В целом, исследования, запланированные в проекте, соответствуют мировому уровню в области механики, математического и компьютерного моделирования природных и технических систем, а по ряду позиций носят опережающий характер.