Тензорные методы и методы машинного обучения для моделирования и оптимизации сложных многопараметрических систем

Компьютерное моделирование позволяет получать очень точные оценки различных свойств физических, химических, биологических систем. Однако, чем точнее нужен ответ, тем больше время расчета. Например, в задачах нефтеразвездки время одного расчета прямой задачи может составлять несколько часов, а ведь это только подзадача в задачах оптимизации и дизайна всего процесса. Для уменьшения сложности моделирования существует большое количество методов построения приближенных моделей, основанных (явно или неявно) на аппроксимации функций многих переменных, например, методы машинного обучения (нейронные сети, ядерные методы), proper orthogonal decomposition, тензорные разложения, и многие другие. При этом, большинство из этих методов все еще являются очень трудозатратными как по времени расчета, так и по используемой памяти. Также, часто использование этих методов приводит к заметной потери точности. Поэтому очень актуальной является задача создания методов построения приближенных моделей, которые позволяют проводить расчеты на порядки быстрее, при этом сохраняя точность и необходимые свойства системы, такие как ее устойчивость. Для этого необходимо как улучшать существующие методы, так и предлагать новые классы приближенных моделей и способы их обучения. Важно отметить, что приведенные методы уменьшения сложности развиваются независимо в разных научных сообществах, так что обмен опытом и подходами также является крайне важной задачей для увеличения эффективности этих подходов. Научная новизна поставленной задачи состоит в том, что мы будем создавать новые методы, основываясь на сочетании методов машинного обучения, линейной и мультилинейной алгебры, тензорных разложений. Мы планируем как применять быстрые методы линейной алгебры (малоранговые аппроксимации, иерархические матрицы) для ускорения решения задач машинного обучения, так и использовать методы машинного обучения для создания новых методов решения задач линейной алгебры, в частности, для решения задачи о поиске подматрицы максимального объема. Оба подхода позволят внести значительный вклад в основную задачу проекта - создание эффективных алгоритмов приближения многомерных функций по небольшому числу ее значений. Для этого предстоит создать алгоритмы выбора оптимальных точек интерполяции, минимизации функционалов на многообразиях тензоров и матриц малого ранга и многое другое. На данный момент эта задача является нерешенной.