Формирование особенностей, разрушение, асимптотические свойства и регулярность решений нелинейных уравнений математическоой физики

Проект направлен на изучение важных классов нелинейных стационарных и эволюционных уравнений, квазилинейных или полностью нелинейных, эллиптического, параболического, гиперболического, смешанного соболевского типа. Эти уравнения имеют независимый математический интерес, но также возникают в биологии, экономике , физике плазмы и многих других областях. Мы изучаем как различные типы краевых,начально-краевых задач, так и задачу Коши. Нас интересует существование, единственность и отсутствие локальных решений, существование и несуществование глобальных решений и их асимптотическое поведение, локальная и граничная регулярность, образование различных классов решений с сингулярностями , асимптотическое поведение решений в окрестности их особенностей. Вопросы, которыми мы планируем заниматься: - задачи с конечно-временным обострением граничных данных (граничные режимы с сингулярным обострением) для различных классов эволюционных уравнений и точные оценки профиля решений вблизи времени обострения, описание локализованных и нелокализованных режимов с обострением , оценки размеров области локализации сингулярности; суперсингулярные и так называемые большие решения квазилинейных параболических и эллиптических уравнений структуры стационарной и нестационарной диффузии --нелинейной вырождающейся и невырождающейся абсорбции,условия существования и несуществования суперсингулярных решений, точные условия единственности больших решений; - доказательство существования критических показателей <<отсутствие локальных во времени решений vs локальная во времени разрешимость>>, <<отсутствие глобальных во времени решений vs существование глобальных во времени решений>> для задач Коши для нелинейных соболевских уравнений, с приложениями из теории нелинейных уравнений теории ионно-звуковых и дрейфовых волн в плазме, а также нелинейной теории ферритов. Исследование гельдеровской регулярности для гельдеровских начальных данных. Развитие метода энергетических оценок Х. Левина применительно к абстрактным нелинейным уравнениям и системам таких уравнений. - начально-краевые задачи для эволюционных нелинейных уравнений нечетного порядка, таких как уравнение Захарова-Кузнецова (многомерное обобщение уравнения Кортевега-де Фриза) и нелинейное уравнение Шредингера высокого порядка. Данные уравнения описывают распространение нелинейных волн в средах с дисперсией, в частности в плазме и оптических волноводах. Изучение вопросов о глобальной разрешимости и корректности решений в различных функциональных пространствах, а также качественных свойств решений, таких как внутренняя регулярность и поведение при больших временах. - исследование свойств решений задачи Коши для уравнений магнитогидродинамики холодной плазмы, в том числе и в пространстве нескольких переменных. Будут найдены условия на начальные данные, обеспечиваещие существование глобально гладкого решения, построены методы оценки времени существования гладкого решения, исследовано влияние таких факторов, как трение между частицами, вязкость, магнитное поле, на сохранение решением гладкости. Кроме того, будет построено обобщенное сильно сингулярное решение, возникающее после потери решением гладкости.