Разработка методов решения некоторых типов негладких дифференциальных включений

Данный проект находится в русле задач, решаемых в научной школе В. Ф. Демьянова с использованием базовых идей, заложенных её основателем. Условно по степени сложности можно описать цепочку решаемых проблем в следующем порядке: простейшая задача вариационного исчисления -> задача оптимального управления системой обыкновенных дифференциальных уравнений с непрерывно дифференцируемой правой частью -> оптимальное управление "гладким" дифференциальным включением -> простейшая негладкая задача вариационного исчисления -> задача оптимального управления системой ОДУ с негладкой правой частью -> оптимальное управление "негладким" дифференциальным включением. Условия негладкости в последней задаче требуют пояснения: предполагается, что опорная функция множества в правой части дифференциального включения является недифференцируемой, а лишь субдифференцируемой функцией фазовых координат. Описанные задачи последовательно решались автором c применением базовых идей, заложенных В. Ф. Демьяновым и его учениками. С помощью вариационной техники, а также с применением точных штрафных функций, опорных функций и аппарата негладкого анализа для этих задач в той или иной форме были получены необходимые условия оптимальности, многие из которых по форме совпадают с классическими результатами, если рассматривать соответствующие ("дифференцируемые") классические задачи. Преимуществом же получаемых условий оптимальности является её конструктивность: это означает, что было понятно, как эти условия применить на практике для построения итеративного ("прямого") метода решения поставленной задачи и какие конкретные (и эффективно реализуемые) шаги нужно совершить. Ещё одним преимуществом подходов научной школы является потенциал для рассмотрения негладких задач. Известны примеры систем управления и дифференциальных включений, когда такое "негладкое" моделирование процессов целесообразно. В этом состоит актуальность решения названных проблем. Заметим, что базовая техника столкнулась с существенными трудностями при рассмотрении негладкой задачи управления, поэтому потребовались качественно новые идеи для их преодоления. Трудность заключалась в сложной структуре квазидифференциала рассматриваемого функционала как элемента функционального пространства. Одной из таких новых идей, предложенных автором, стало искусственное "разделение" фазовой траектории и её производной и учёт естественной связи между ними в виде штрафной функции особого вида. Данная идея позволила построить направление наискорейшего спуска минимизируемого функционала. Ранее, насколько известно автору, данный подход не использовался в литературе. Немного подробнее остановимся на основной задаче, решаемой в данном проекте. Изучаются негладкие дифференциальных включения как со свободным, так и с закреплённым правым концом, а также с поточечными ограничениями на фазовую траекторию. Более конкретно: опорная функция правой части дифференциального включения является субдифференцируемой функцией фазовых координат. Такие дифференциальные включения возникают из систем обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Движение системы по поверхности "разрыва" называется скользящим режимом и может быть описано дифференциальным включением специального вида. Негладкие дифференциальные включения возникают и из других прикладных задач. Например, пусть известно, что какая-нибудь фазовая "скорость" объекта принадлежит множеству, описываемому выпуклой оболочкой некоторых функций его координат. Тогда опорная функция множества в правой части будет иметь вид максимума функций фазового вектора, что охватывается исходной постановкой задачи. Здесь важно отметить прикладную значимость этих задач с одной стороны и естественность возникновения негладкого дифференциального включения, исследуемого в проекте, - с другой. Проект направлен и на решение других задач: например дальнейшее развитие разрабатываемых методов в негладких задачах управления с фазовыми ограничениями.