Актуальные проблемы теории управления и стабилизации динамических систем

Представленный проект направлен на исследование динамики управляемых систем на конечном и бесконечном промежутке времени. Будут исследованы прямые и обратные задачи управления динамическими системами, в том числе наследственными, в условиях конфликта, помех или неопределенности. Для таких объектов будут решаться задачи стабилизации, задачи управления асимптотическими характеристиками, задачи терминального управления. Будут рассмотрены системы, эволюция которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, разностными уравнениями, дифференциальными уравнениями с производными дробного порядка, дифференциальными уравнениями во временных шкалах, дифференциально-разностными уравнениями, функционально-дифференциальными уравнениями нейтрального типа. Исследования будут проводиться в рамках концепции позиционных методов управления, развитой в уральской научной школе по математической теории управления и школе Л.С.Понтрягина по теории дифференциальных игр. Представленный в проекте методологический подход объединяет в себе математическую теорию управления, позиционные дифференциальные игры, теорию инвариантности динамических систем, асимптотические методы теории линейных систем, математическую теорию устойчивости, выпуклый и негладкий анализ, геометрическую теорию управления. Основное внимание будет уделено следующим направлениям исследований: 1. Стабилизация и управление асимптотическими режимами нелинейных и линейных управляемых систем эволюционного типа. Целью исследования является развитие теории, а также разработка новых аналитических и геометрических методов и построение алгоритмов стабилизации и управления асимптотическим поведением решений управляемых систем эволюционного типа, включающих в себя линейные, билинейные, аффинные, нелинейные системы управления с постоянными и переменными коэффициентами, с непрерывным и дискретным временем, в том числе системы с запаздыванием, системы с дробными производными, системы в бесконечномерных пространствах, системы в комплексных пространствах, гибридные системы. Для решения задач управления асимптотикой решений и стабилизации предполагается развитие асимптотической теории систем с непрерывным и дискретным временем и дробными производными. Планируется также исследование собственных значений и спектральных свойств некоторых операторов математической физики. Рассматриваемые в проекте задачи находятся на стыке теории управления, теории устойчивости, асимптотической теории линейных систем дифференциальных уравнений, теории показателей Ляпунова и теории динамических систем. В работе исследуются открытые, не решенные проблемы математической теории управления. Сложность исследования данных проблем связана с нестационарностью систем, нелинейностью систем, формированием управления на основе неполной информации о состоянии системы, наличием запаздываний в системе, наличием помех, наличием смешанной непрерывно-дискретной динамики. Исследование актуально и с точки зрения математической теории управления, и с точки зрения прикладных задач стабилизации допустимых процессов управляемых систем. 2. Разрешающие процедуры в задачах конфликтного взаимодействия управляемых объектов. А) Задачи преследования и уклонения с участием группы преследователей и одного или нескольких убегающих в случае, когда динамика каждого из участников описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, дифференциальными уравнениями с дробными производными, дифференциальными уравнениями во временных шкалах. Акцент будет сделан на поиске достаточных условий разрешимости таких задач в различных классах стратегий (позиционные, импульсные, кусочно-программные). B) Задачи оптимального управления и дифференциальные игры для систем дробного порядка и для систем нейтрального типа. Внимание будет сосредоточено на развитии теории соответствующих наследственных (path-dependent) уравнений типа Гамильтона – Якоби и их обобщенных (вязкостных) решений с приложением к построению оптимальных позиционных стратегий. Разработка ориентированных на работу в реальном времени устойчивых к информационным помехам и погрешностям вычислений алгоритмов решения таких задач в условиях неполной и меняющейся информации о состоянии системы и времени ее функционирования. При этом в рамках проекта указанные задачи объединяются не только близкими объектами исследования, но также и общими подходами и методами решения, имеющими своей основой теорию позиционных дифференциальных игр.