Аппроксимационные методы теории функций в теории операторов

Проект направлен на развитие и применения аппроксимационных методов теории функций к теории дифференциальных операторов и математической физике. Составными частями цели являются • описание спектральных асимптотик для нелокального оператора Шредингера на заданной окружности со сдвигом в младшем члене с произвольным потенциалом, где основной акцент будет делаться на получение асимптотик с оценкой остатка, равномерной по величине сдвига; • развитие методов построения асимптотики решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с регулярно осциллирующими коэффициентами и исследование спектральных свойств соответствующих дифференциальных операторов в зависимости от резонансных свойств коэффициентов; • аппроксимация функций из различных классов банаховых пространств некоторыми классами достаточно простых, зачастую явных, функций, с основным упором на вопросы полноты систем функций, что имеет прямые выходы на аппроксимацию решений дифференциальных уравнений собственными и присоединёнными функциями соответствующего дифференциального оператора; • развитие численных методов и разработка комплексов программ для моделирования резонансных свойств колебаний жидкости в приближении уравнений мелкой воды. Ключевые объекты исследования по проекту — дифференциальные и дифференциальные операторы вкупе с новыми аппроксимационными методами их исследования. Актуальность этого направления исследований продиктована как внутренней логикой развития соответствующих разделов анализа, так и их приложениями в самых разнообразных естественнонаучных, инженерно-технических областях. Дифференциально-разностные уравнения являются важным и интересным объектом для изучения. Сдвиги в данных уравнениях часто интерпретируют как запаздывание (или опережение), суть которого состоит в том, что протекание физического процесса определяется его характеристиками не только в данный момент времени, но и в предыдущие моменты. В этом случае независимой переменной придается смысл времени. Задачи, в которых сдвиг присутствует в пространственных переменных, возникают в теории многослойных пластин и оболочек, теории многомерных диффузионных процессов, а также теории нелинейных оптических систем с двумерной обратной связью. Исследованию таких уравнений посвящена весьма обширная литература, имеется большое число статей, касающихся изучения краевых задач для эллиптических, параболических и гиперболических функционально-дифференциальных уравнений. Имеется ряд результатов об устойчивости, существования, единственности и гладкости решений. Асимптотические разложения собственных значений по номеру для одномерных дифференциальных операторов Шрёдингера, или кратко спектральные асимптотики – это классическая и очень хорошо исследованная тематика, которая рассматривалась в различных постановках во многих задачах. Вместе с тем, данные асимптотики выписываются для заданных операторов и оценки остаточных членов в них неявно зависят от выбора оператора, например, от коэффициентов его дифференциального выражения. Если же рассматриваемые операторы зависят от какого-то параметра, то при изменении данного параметра упомянутые асимптотики могут существенно меняться, а оценки остаточных членов могут даже разрушаться. Поэтому для дифференциальных операторов, зависящих от параметра, естественно возникает гораздо более сложная задача о получении спектральных асимптотик, равномерных по малому параметру. Несмотря на то, что исследование дифференциально-разностных уравнений ведется достаточно активно, вопросы спектральных свойств соответствующих операторов мало затрагивались. Имеется определённое количество работ, где спектральные асимптотики выписывались для дифференциально-разностных уравнений, однако во всех этих постановках нелокальный сдвиг не выводил за пределы отрезка, на котором рассматривался оператор. Лишь в этом году появились первые работы о спектральных асимптотиках для общих операторов со сдвигами, авторство этих работ принадлежит одному из членов коллектива. При этом рассматривался случай краевых условий Дирихле или Неймана, а более сложный случай периодических краевых условий остается неисследованным. Его основным отличием является то, что здесь продолжение за пределы отрезка принципиально другое (периодическое вместо нулевого), а собственные значения даже в классическом случае оказываются двукратными. Поэтому имеющаяся техника требует модификации, а сама задача о периодических краевых условиях -- отдельного исследования. Именно эта важная и актуальная задача и будет решаться в рамках настоящего проекта. Хорошо известно, что качественные спектральные свойства сингулярных дифференциальных операторов во многом определяются асимптотическим поведением фундаментальной системы решений (далее ФСР) соответствующих дифференциальных уравнений в точках сингулярности. Эта связь особенно ярко проявляется между асимптотикой ФСР и спектральными свойствами неполуограниченных дифференциальных операторов. Исследование асимптотического поведения ФСР линейных обыкновенных дифференциальных уравнений существенно опирается на свойство регулярности поведения (условия типа Титчмарша-Левитана) коэффициентов дифференциального выражения в окрестности особой точки, что дает возможность применения классического результата Левинсона для L-диагональных систем линейных дифференциальных уравнений. Большинство классических результатов об асимптотике ФСР так или иначе были получены с помощью преобразования системы линейных дифференциальных уравнений за конечное число шагов к L-диагональной системе. Этот метод изложен в огромном количестве монографий и журнальных статей (см. монографии Э. Айнса, Л. Чезари, В. Вазова, Ф. Олвера, Ф. Хартмана, Э.А. Коддингтона и Н. Левинсона, М.С.П. Истхама, М.А. Наймарка, Б.М. Левитана, М.В. Федорюка и др.) и на сегодняшний день пределы его применимости хорошо изучены. Несмотря на огромное количество работ по исследованию асимптотического поведения решений сингулярных дифференциальных уравнений остаются неразрешёнными круг вопросов, связанных с поведением на бесконечности решений уравнений с нерегулярными коэффициентами. В данной проекте мы намерены развивать новые методы и подходы исследования линейных дифференциальных уравнений с так называемыми «регулярно осциллирующими» коэффициентами. Оказывается, что для этих классов линейных дифференциальных уравнений возможно алгоритмическое построение асимптотических формул для ФСР при больших значений независимой переменной. Актуальность проблемы построения асимптотики ФСР линейных дифференциальных уравнений «регулярно осциллирующими» коэффициентами наряду с тем, что она представляет самостоятельный интерес, естественным образом обуславливается вопросами, связанными со спектральными свойствами сингулярных дифференциальных операторов. Также отметим, что для линейных дифференциальных уравнений с «регулярно осциллирующими» коэффициентами характерно интересное нетривиальное свойство – наличие внутренних точек резонанса, а именно, скачкообразное изменение асимптотики ФСР при переходе через особые точки числовых параметров коэффициентов. Это новое свойство придает дополнительный интерес к исследованию линейных дифференциальных уравнений с «регулярно осциллирующими» коэффициентами. Вопросы аппроксимации объектов различных множеств некоторыми в том или ином смысле простыми и явными – это один из основных подходов для уяснения природы и свойств этих объектов. Один из вариантов такой аппроксимации – это полнота систем функций в функциональном пространстве, заключающаяся в совпадении замыкания линейной оболочки системы со всем пространством или его частью при замыкании в норме, метрике или топологии этой системы. Исследования полноты систем функций в функциональных пространствах нашли отражение в громадном количестве работ советских, российских и зарубежных исследователей-математиков, специализирующихся в математическом анализе, дифференциальных уравнениях, математической физике и др. разделах анализа. Одна из наиболее часто возникающих проблем в этом направлении – аппроксимация ядра того или иного дифференциального оператора линейными комбинациями корневых функций для него. Для таких аппроксимаций актуальна задача создания новых подходов, основанных на последних достижениях теории потенциала и субгармонических функций, что также должно быть достаточно подробно исследовано при реализации проекта.