Методы нелинейного функционального анализа в задачах гидродинамики

Проект направлен на изучение современных проблем гидродинамики на основе методов нелинейного функционального анализа. Именно качественные методы функционального анализа зарекомендовали себя среди наиболее эффективных и мощных средств решения задач со сложной структурой, которые имеют важные практические применения. В настоящее время круг таких проблем значительно расширился. Он включает не только классические неньютоновские жидкости, но также сложные среды, в которых связь тензоров напряжений и скоростей деформаций осуществляется путем решения транспортных уравнений, среды, в которых реологические соотношения имеют вид сложных тензорных зависимостей с нелинейными материальными производными, сжимаемые среды, среды с памятью. Математические модели таких сред находят применение в теории полимеров, химии, биологии (движение крови, различных ликворов). Также отметим широкое применение в технологических процессах, в частности, при разработке новых технологий нефтедобычи и т.д. В качестве конкретных проблем гидродинамики планируется рассмотреть следующие основные блоки задач: 1. Исследование динамики вязкоупругих жидкостей интегрального типа высокого порядка (жидкости типа Грина-Ривлина). 2. Исследование слабой и сильной разрешимости начально-краевых задач для ряда моделей Кельвина-Фойгта неоднородной несжимаемой жидкости. 3. Исследование разрешимости начально-краевых задач для моделей вязкоупругих жидкостей с памятью (в том числе бесконечной памятью). В том числе предполагается изучение задач для вязкоупругих жидкостей (Олдройдовского типа, моделей Фойгта и Кельвина-Фойгта) с ненулевыми граничными условиями (задач протекания) в односвязной и многосвязной областях. 4. Теоретическое исследование математических моделей, описывающих движение многокомпонентных несмешивающихся несжимаемых неоднородных жидкостей, каждая компонента которых описывается уравнениями типа Кельвина-Фойгта. 5. Изучение проблем динамики гомогенных смесей жидкостей. Исследование задач рассматриваемого направления носит актуальный характер мирового уровня, что подтверждается большим количеством оригинальных научных работ и монографий по тематике данного проекта за последние 20 лет, значительная часть которых опубликована в журналах из квартиля Q1. Актуальность тематики проекта обусловлена оригинальностью методов исследования, трудностью рассматриваемых задач, а также предполагаемыми в дальнейшем (и частично уже имеющимися) приложениями в химии полимеров, механике, медицине и многих других разделах естествознания. Анализ современной научной литературы и выступлений на международных научных конференциях и конгрессах показывает, что предлагаемые участниками проекта идеи и методы представляют интерес для специалистов этого раздела математики, а их исследования находятся на современном мировом уровне, и в ряде случаев опережают его.