Классификация нелинейных дискретных интегрируемых уравнений в 3D посредством интегрируемых по Дарбу двумерных редукций

Целью настоящего проекта является исследование дискретных нелинейных интегрируемых уравнений с тремя независимыми переменными, установлению их связей с другими областями математики, такими как алгебра, анализ, численные методы, дискретная математика. Известно, что дискретные модели находят приложение в теоретической физике, нанотехнологиях, проблемах передачи информации, в теории искусственного интеллекта и др. Особая привлекательность интегрируемых моделей состоит в том, что они допускают богатые классы явных точных решений, что очень важно с точки зрения приложений. Интегрируемые системы могут быть использованы в качестве первого приближения при исследовании физических моделей более сложной природы. В силу этих причин проблема составления списков интегрируемых уравнений приобретает особую важность. Отметим, что для полного описания интегрируемых нелинейных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными и их дискретных аналогов к настоящему времени разработаны достаточно эффективные классификационные алгоритмы, основанные на использовании высших симметрий, Пенлеве теста, условия 3Д совместности. В рамках перечисленных подходов в случае размерности 1+1 к настоящему времени получены исчерпывающие списки интегрируемых представителей для наиболее востребованных классов уравнений. Классификационные задачи для дискретных уравнений, зависящих от трех и более аргументов остаются мало изученными. Симметрийный подход (Шабат, Ибрагимов, Михайлов, Соколов, Адлер, Ямилов, и это лишь некоторые ключевые авторы) ранее с успехом применявшийся к уравнениям в размерности 1+1, при переходе к трехмерным моделям теряет свою эффективность из-за проблем с нелокальными переменными. В рамках настоящего проекта планируется полностью описать два класса трехмерных цепочек связанных с дискретизацией двумеризованных цепочек типа Тоды. Первый класс содержит уравнения, в которых только одна независимая переменная является непрерывной, остальные две – дискретны, такие модели называются полудискретными системами типа КП (semi-discrete KP-type systems), а второй класс состоит из полностью дискретных моделей в 3D (Hirota type disrete models). Для поиска дискретных интегрируемых моделей указанных двух типов мы исходим из того, что они все получаются из интегрируемых цепочек типа Тоды путем дискретизации с сохранением полного набора характеристических интегралов по одному из характеристических направлений. При этом характеристические алгебры исходной цепочки и ее дискретизации являются изоморфными для соответствующих конечно-полевых редукций.