Качественный и численный анализ динамических систем, возникающих в задачах механики систем с качением и робототехники (2021)

Проанализированы условия существования перманентных вращений на горизонтальной плоскости твердого тела, имеющего форму трехосного эллипсоида. Подробно рассмотрен случай симметричного эллипсоида, в котором главные геометрические оси совпадают с главными осями инерции, а центр масс совпадает с геометрическим центром. Показано, что при определенном распределении масс симметричный эллипсоид обладает перманентными вращениями вокруг неглавных осей инерции. При этом отношение квадратов наименьшей к наибольшей полуоси эллипсоида должно быть больше 0.5. Найдено что требуемому распределению масс удовлетворяет однородный эллипсоид, имеющий полость. Получены условия устойчивость перманентных вращений симметричного эллипсоида. Численно проанализировано трехмерное отображение Пуанкаре, на котором найдены изолированные неподвижные точки, имеющие тип седло-фокус. Получена математическая модель, описывающая динамику симметричного роликового велосипеда. Она обобщает модель двухмассового роликового велосипеда (two mass skate или TMS). Для того, чтобы получить модель TMS нужно положить, что вся масса руля и рамы сосредоточена в их центрах масс. Показано, что рассмотренная задача сводится к анализу пяти нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих эволюцию поступательной скорости руля, двух компонент угловых скоростей, угла поворота руля относительно рамы и угла, характеризующего отклонение рамы от вертикальной плоскости. Указаны частные решения, соответствующие прямолинейному движению велосипеда и получены условия их устойчивости в линейном приближении. Показано, что если руль представляет собой динамически симметричное твердое тело и его ось вращения совпадает с главной осью инерции, тогда уравнения движения обладают дополнительным первым интегралом. Кроме того, указано частное решение, для которого точка контакта рамы покоится, а точка контакта руля движется по окружности с постоянной угловой скоростью. Получена математическая модель, описывающая движение на горизонтальной плоскости связки двух твердых тел, моделирующих движение моноцикла. Одно из них несущее, представляет собой сплюснутый сфероид, описывающий форму колеса. Внутри несущего тела имеется полость, в которой закреплено другое несомое тело – динамически симметричный волчок. Эта задача обладает частным решением, для которого сфероид равномерно катится вдоль прямой, а волчок покоится в верхнем вертикальном положении. Данное решение является неустойчивым, тем не менее показано, что при помощи обратной связи можно добиться стабилизации положения моноцикла в верхнем вертикальном положении. Построена математическая модель движения неоднородного диска по гладкой горизонтальной плоскости при наличии силы трения. Показано, что при определенных соотношениях массо-геометрических характеристик и определенных начальных условиях при вертикальном закручивании диска может наблюдаться переворот – подъем центра масс выше геометрического центра (аналогичный перевороту волчка тип-топ). Исследована устойчивость вертикальных вращений.