Функциональные пространства с переменным показателем и их приложения. Некоторые вопросы теории приближений полиномами, рациональными функциями, сплайнами и вейвлетами

Цель и содержание работыПриближение функций из весовых пространств Лебега и Соболева с переменным показателем вейвлетами Хаара. Приближение функций из весовых пространств Лебега и Соболева суммами Фурье по полиномам, ортогональным по Соболеву и порожденным полиномами Лежандра. Исследование аппроксимативных свойств частичных сумм дискретных рядов Фурье – Якоби в случае неравномерных сеток. Исследование локальных аппроксимативных свойств сумм Фурье по тригонометрической системе для кусочно-гладких функций. Построение рациональных сплайнов, обладающих безусловной сходимостью для самой функции и первой ее непрерывной производной. Доказательство прямой и обратной теорем теории приближений тригонометрическими полиномами в весовых пространствах Лебега с переменным показателем в терминах модулей гладкостей.Приближение функций из весовых пространств Лебега и Соболева суммами Фурье по полиномам, ортогональным по Соболеву, порожденным ультрасферическими полиномами Якоби. Исследование аппроксимативных свойств частичных сумм некоторых специальных рядов со свойством прилипания по ультрасферическим полиномам Якоби, а также линейных средних по ним. Исследование аппроксимативных свойств частичных сумм некоторых специальных вейвлет-рядов со свойством прилипания. Исследование локальных аппроксимативных свойств повторных средних Валле – Пуссена по тригонометрической системе для кусочно-гладких функций. Построение рациональных сплайнов для дифференцируемых функций, обладающих безусловной сходимостью до производных второго и других высших порядков.Приближение функций из весовых пространств Лебега и Соболева суммами Фурье по полиномам, ортогональным по Соболеву, порожденным полиномами Якоби и Лагерра. Исследование аппроксимативных свойств линейных средних частичных сумм некоторых специальных вейвлет-рядов и рядов по ортогональным полиномам со свойством прилипания. Исследование локальных аппроксимативных свойств повторных средних Валле – Пуссена второго и выше порядков по тригонометрической системе для кусочно-гладких функций. Исследование вопроса существования рациональных или других смешанных сплайнов, которые обладают свойством безусловной сходимости, как для класса непрерывных функций, так и для классов непрерывно дифференцируемых до определенного порядка функций.Исследование вопросов приближения функций из весовых пространств Лебега и Соболева с переменным показателем тригонометрическими суммами Фурье и их линейными средними. Исследование вопросов локальной сходимости тригонометрических сумм Фурье и их линейных средних для кусочно-гладких функций, локальные свойства гладкости которых описываются в терминах весовых пространств Лебега и Соболева с переменным показателем. Исследование вопросов приближения функций из весовых пространств Лебега и Соболева с переменным показателем суммами Фурье по системе Уолша. Исследование вопросов локальной сходимости сумм Фурье – Уолша и их линейных средних для кусочно-гладких функций, локальные свойства гладкости которых описываются в терминах весовых пространств Лебега и Соболева с переменным показателем. Исследование вопросов приближения кусочно-гладких периодических функций дискретными суммами Фурье. Изучение вопросов приближения разрывных функций рациональными сплайнами, в частности, исследование явления Гиббса для интерполяционных сплайнов по рациональным интерполянтам. Объект и методы исследованияОсновным объектом исследования является теория приближений в весовых и безвесовых пространствах Лебега с переменным показателем. При решении различных задач теории приближений в L^p(x) будут использованы методы и подходы, связанные с условием Дини – Липшица, налагаемым на переменный показатель p(x).Актуальность работыВ последнее время интенсивное развитие получила теория пространств Лебега L^p(x) с переменным показателем p(x). Это связано, в частности, с тем что эти пространства находят многочисленные применения в различных областях математики и ее приложениях, таких как: обработка и сжатие изображений, многомерные вариационные функционалы с нестандартным ростом подынтегральных выражений, дифференциальные и интегральные операторы, описывающие динамику в электрореалогических средах, которые играют важную роль в некоторых современных областях физики и техники. Пространства Лебега с переменным показателем перестали играть роль экзотического примера так называемых модулярных пространств и вышли в самостоятельный путь развития с того момента, когда было показано, что топология этих пространств нормируема и одна из эквивалентных норм определяется с помощью хорошо известной теоремы Колмогорова о нормируемости линейных топологических пространств, в которых существует ограниченная уравновешенная выпуклая окрестность нуля. Именно на этом пути в 1979 г. было показано (см. работу Шарапудинова И.И. «О топологии пространств L^p(x)» // Мат.заметки, Т. 26, вып. 4,с. 613-632), что пространство L^p(x)(E), состоящее из измеримых на Е функций, для которых |f(x)|^p(x) интегрируема на Е, при p(x) >= 1 представляет собой нормированное пространство. Дальнейшее развитие теории этих пространств было связано с исследованием условий, налагаемых на переменный показатель, которые гарантируют справедливость в теории этих пространств важнейших результатов, присущих теории классических пространств L^p с постоянным показателем p>=1. Как было показано нами, таким условием оказалось так называемое условие Дини – Липшица (в зарубежной литературе это условие принято называть log-Holder condition). При соблюдении этого условия было показано, что классическая система Хаара является базисом в L^p(x), а также что некоторые семейства операторов свертки равномерно ограничены в этих пространствах. Обнаруженная впервые в наших работах связь между условием Дини – Липшица для переменного показателя p(x) и равномерной ограниченностью в L^p(x) семейств классических операторов оказалась характерной для построения содержательной теории интегральных операторов в этих пространствах. Как показали многочисленные результаты, полученные в последние годы специалистами в области теории дифференциальных уравнений, аналогичная картина наблюдается и при построении содержательной теории дифференциальных операторов в пространствах Соболева с переменным показателем. Не смотря на значительный прогресс, достигнутый в теории пространств Лебега с переменным показателем, все еще мало исследованы многие важнейшие вопросы теории приближений в этих пространствах. В частности, совсем не изучены вопросы, связанные с получением прямых и обратных теорем теории приближений в весовых пространствах с переменным показателем. Остаются мало исследованными вопросы приближения периодических функций в весовых пространствах Лебега тригонометрическими суммами Фурье и их линейными средними. Остаются нерешенными задачи, связанные с базисностью в пространствах L^p(x) многих классических ортонормированных систем, таких как система полиномов Якоби, система Уолша и других. Предполагаемые/достигнутые результатыБудут получены новые результаты по теории аппроксимации и интерполяции в вещественной и комплексной области. Будет развита теории функциональных пространств и многомерного гармонического анализа. Планируется исследовать вопросы приближения функций из весовых пространств Лебега и Соболева с переменным показателем суммами Фурье по полиномам, ортогональным по Соболеву и порожденным такими классическими системами как функции Хаара, полиномы Лежандра, Якоби, Лагерра, Чебышева и Мейкснера. Будут изучены аппроксимативные свойства дискретных рядов Фурье по полиномам Чебышева и Якоби, некоторых специальных вейвлет-рядов и рядов по классическим ортогональным полиномам со свойством прилипания, а также линейных средних по ним. Будут исследованы вопросы существования некоторых рациональных или других смешанных сплайнов. Планируется провести изучение локальных аппроксимативных свойств повторных средних Валле – Пуссена по тригонометрической системе для кусочно-гладких функций. Будут найдены условия на переменный показатель и весовую функцию, которые гарантируют базисность тригонометрической системы в соответствующем весовом пространстве Лебега с переменным показателем. Будут найдены условия на переменный показатель и весовую функцию, которые обеспечивают сходимость в соответствующем весовом пространстве Лебега с переменным показателем средних типа Валле – Пуссена тригонометрических сумм Фурье. Для функций из весовых пространств Соболева с переменным показателем будут найдены оценки скорости сходимости средних типа Валле – Пуссена в заданной точке. Будут исследованы вопросы сходимости в весовом пространстве Лебега с переменным показателем средних типа Чезаро для сумм Фурье – Уолша. Будут вестись исследования, направленные на получение условий на переменный показатель и весовую функцию, которые гарантируют базисность системы Уолша в соответствующем весовом пространстве Лебега с переменным показателем. Будут исследованы аппроксимативные свойства дискретных тригонометрических сумм Фурье для некоторых кусочно-гладких периодических функций. Будут получены локальные оценки скорости приближения кусочно-гладкой периодической функции дискретными тригонометрическими суммами Фурье, зависящие от расположения точки на периоде и от степени гладкости рассматриваемой функции. Будут найдены условия на сетки узлов для отсутствия и для наличия явления Гиббса для интерполяционных сплайнов по рациональным интерполянтам в случае непрерывных на отрезке функций, исключая точки разрыва первого рода со скачком.Область примененияПолученные результаты могут найти применение в таких важных задачах, как: обработка и сжатие изображений, аппроксимационно-аналитические методы решения дифференциальных и интегральных уравнений, квадратурные формулы для функций из классов Соболева с переменным показателем и др.Теоретическая/практическая значимостьРешение поставленных задач будет способствовать дальнейшему существенному развитию теории приближений в пространствах Лебега и Соболева с переменным показателем и разработке новых эффективных алгоритмов для решения дифференциальных и интегральных уравнений, основанных на применении разложения функций по различным функциональным базисам пространств L^p(x) (спектральные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений).