Промежуточный отчет по теме: "Нелинейные интегро-дифференциальные уравнения, разностные и суммарные ядра, дробное интегро-дифференцирование"

Объекты исследований – Интегральные уравнения с суммарно-разностными ядрами и монотонной нелинейностью в пространствах Лебега. Начальная задача для интегро-дифференциального уравнения с разностными ядрами и неоднородностью в линейной части. Начальные задачи для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений типа свертки высших порядков. Класс обобщенных потенциалов Бесселя. Обобщенный потенциал Бесселя в весовом лебеговом классе функций, оператор слабого типа в смысле нормы, построенной при помощи весовой функции распределения. Обобщенная свертка, обобщенный потенциал Бесселя, дробные степени многомерных операторов, обратный оператор, преобразование Ханкеля Совершенные пополнения пространств, связь с ядром обобщенного потенциала Бесселя. Обобщение потенциала Бесселя и его обращение, достигаемое за счет рассмотрения сингулярного оператора Лапласа-Бесселя при построении потенциала Бесселя. Исследование класса линейных эллиптических функционально-дифференциальных уравнений, содержащих в старшей части слагаемые со сжатиями (растяжениями), поворотами и сдвигами аргументов неизвестной функции. Задача Дирихле для уравнения в частных производных второго порядка с производной Римана - Лиувилля по одной из двух независимых переменных порядка, меньшего двух, в верхней полуплоскости. Эволюционные уравнения с несколькими производными Римана — Лиувилля в линейной части. Цель работы Доказательство глобальных теорем о существовании, единственности и способах нахождения решения для интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с монотонными нелинейностями, содержащих суммарные и разностные ядра в пространствах Лебега, нелинейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с суммарными и суммарно-разностными ядрами в конусах пространства непрерывных функций, краевых задач для нелинейных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений в пространствах Соболева и начальных задач для интегро-дифференциальных уравнений вольтерровского типа со степенной нелинейностью в конусах пространства непрерывно-дифференцируемых функций, для уравнений в частных производных высокого порядка с дробными производными и для линейных дифференциальных уравнений дробного порядка с запаздывающим аргументом, функционально-дифференциальных уравнений, содержащих свертку. Применение указанной теории к решению нелинейных задач радической математической физики, теории аналитических функций, гидроаэродинамики, теории упругости, общей краевой задачи для эллиптического функционально-дифференциального уравнения в ограниченной области, содержащего аффинные преобразования аргумента (свертку и сжатия) в старших производных неизвестной функции и другим. Доказательство новых глобальных теорем о существовании, единственности, устойчивости, оценках и способах нахождения решений таких уравнений. Выявление общих свойств и принципиальных отличий нелинейных уравнений типа свертки с суммируемыми ядрами, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала и интегралами дробного порядка, нелинейных сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Исследование начальных задач для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений с суммарно-разностными ядрами в различных конусах пространства непрерывных функций, а также в пространствах Лебега. Разработка приближенных методов решения для указанных классов нелинейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Доказать ограниченность обобщенного потенциала Бесселя в специальном лебеговом классе функций со степенным весом, показать , что обобщенный потенциал Бесселя является оператором слабого типа в смысле нормы, построенной при помощи весовой функции распределения. Построение совершенных пополнений по норме, связанных с ядром обобщенного потенциала Бесселя. Изучение краевой задачи в полуплоскости для обобщенного уравнения Лапласа с композицией операторов дробного дифференцирования, в частности решение задачи Дирихле для уравнения в первом квадранте. Изучение нового класса эллиптических функционально-дифференциальных уравнений, содержащих одновременно сжатия и сдвиги, а также сжатия и повороты аргументов старших производных неизвестной функции. Рассматриваются проблема коэрцитивности, вопросы однозначно и фредгольмовой разрешимости задачи Дирихле в смысле обобщенных решений и пространств Соболева, а также гладкости обобщенных решений. Исследование вопросов однозначной разрешимости начальных и краевых задач для линейных и квазилинейных уравнений с несколькими дробными производными Римана — Лиувилля. Нахождение корректной постановки задачи типа Коши для исследуемого класса уравнений, разрешенных относительно старшей производной Римана — Лиувилля. Исследование вопросов однозначной разрешимости задачи типа Коши для линейных и квазилинейных уравнений, разрешенных относительно производной Римана — Лиувилля, в случае ограниченных линейных операторов при производных и неограниченных линейных замкнутых операторов, порождающих аналитическое в секторе семейство разрешающих операторов. Использование при постановке и исследовании начальных задач для вырожденных эволюционных уравнений с несколькими дробными производными Римана — Лиувилля, а также для некоторых обратных задач для таких уравнений. Научная новизна. В настоящее время теория интегральных и интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра, Фредгольма, Гаммерштейна и Урысона достаточно хорошо развита. Значительно меньше работ посвящено нелинейным интегральным и интегро-дифференциальным уравнениям с разностными и, особенно, суммарными и суммарно-разностными ядрами. Среди уравнений с суммарными ядрами хорошо известно линейное интегральное уравнение Фокса и нелинейное интегральное уравнение Чандрасекхара (так называемое H-уравнение Чандрасекхара), возникающее в теории лучистого равновесия и в теории переноса тепла излучением. Среди линейных и нелинейных интегральных уравнений с суммарно-разностными ядрами известны уравнения с так называемыми Теплиц плюс Ганкель ядрами (integral equations with a Toeplitz plus Hankel kernels), возникающие, в частности, при изучении кругового штампа, проникающего в упругий слой конечной толщины, покоящийся на жестком основании, при атмосферном рассеянии и в динамике разреженного газа. Например, в обратной задаче рассеяния при подходе Гельфанда-Левитана возникает интегральное уравнение с ядром Теплица, а при подходе Марченко — интегральное уравнение с ядром Ганкеля. Следует отметить, что нелинейные интегральные уравнения с суммарными, разностными и суммарно-разностными ядрами ранее изучались, как правило, либо на основе принципа Шаудера, либо на основе принципа сжимающих отображений, либо на основе теоремы существования неявной функции, что приводило, соответственно, либо к жестким ограничениям на область существования решений, либо труднообозримым ограничениям на нелинейность (при таких ограничениях уравнения становились почти линейными). В связи с приложениями нелинейных уравнений указанного типа в р-адической математической физике, теории аналитических функций, гидроаэродинамике, теории упругости и других, важное значение имеет получение глобальных теорем о существовании, единственности и способах нахождения их решений. Для достижения этой цели в случае нелинейных сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с разностными и суммарными ядрами нами используется метод монотонных (по Браудеру-Минти) операторов, а в случае нелинейных уравнений Вольтерра с разностными, суммарными или суммарно-разностными ядрами используется, развиваемый нами, метод весовых метрик (аналог метода А. Белецкого), основанный на получении точных априорных оценок решения. Известно, что исследование нелинейных краевых задач «основано по существу на теории так называемых монотонных операторов и находится в центре внимания выдающихся современных математиков (Ф. Браудера, Дж. Лионса, Й. Нечаса и др.)» (см. монографию: Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. Стр. 565). К сожалению, как отмечено в монографии В. Хатсона и Дж. Пима «Приложения функционального анализа в теории операторов. М.: Мир, 1983. Стр. 236», термин «монотонный оператор» используется в функциональном анализе в нескольких различных смыслах. Так, в работах М.А. Красносельского, И.А. Бахтина и других развита глобальная теория нелинейных уравнений с монотонными (по Красносельскому) операторами в банаховых пространствах с конусами, состоящими из неотрицательных функций, а в работах Г. Минти, Ф. Браудера, Р.И. Качуровского, М.М. Вайнберга и других построена теория нелинейных уравнений с монотонными (по Браудеру-Минти) операторами в рефлексивных пространствах, состоящих из вещественнозначных или комплекснозначных функций (т.е. не являющимся знакоопределенными). Метод монотонных по Браудеру-Минти операторов хорошо известен применительно к уравнениям Гаммерштейна в пространствах Лебега, когда априори предполагается, что интегральный оператор с ядром общего вида является положительным по Бохнеру. Упомянем в связи с этим работы М.М. Вайнберга, Г.И. Качуровского, Ф. Браудера, Х. Брезиса и других, в которых не приводятся условия на ядра, обеспечивающие положительность соответствующих операторов по Бохнеру.