Хаотическая динамика и бифуркации многомерных диссипативных, консервативных и обратимых систем

Проект направлен на развитие теории многомерных динамических систем в таких важных и актуальных ее разделах как теория глобальных бифуркаций и гомоклинического хаоса, теория странных аттракторов диссипативных систем, теория гамильтоновых и близких к ним систем с хаотической динамикой, а также недавно возникшая теория обратимых систем со смешанной динамикой. Развитие математической теории систем с хаотической динамикой, создание новых аналитических и компьютерных методов их исследования является одной из наиболее актуальных и интересных задач в исследовании нелинейных явлений. В рамках проекта предлагается развить единный подход к анализу всех трех известных на сегодня типов хаотической динамики гладких многомерных систем: диссипативной, консервативной и обратимой. В проекте для каждого из указанных типов хаотического поведения предлагается исследовать их основные характерные свойства, изучить феноменологические сценарии их возникновения и разрушения и показать как такие сценарии реализуются для различных моделей из приложений. В теории диссипативных систем основное внимание будет уделено исследованию странных аттракторов с т.н. псевдогиперболической структурой, а также изучению локальных и глобальных бифуркаций, приводящих к возникновению таких аттракторов. В теории консервативных (гамильтоновых и, более общо, бездивергентных) систем основные задачи будут связаны с изучением структуры неравномерно гиперболических множеств и нахождением новых критериев рождения эллиптических периодических траекторий. Также будут исследованы бифуркации, приводящие к возникновению странных псевдогиперболических аттракторов при диссипативных возмущениях консервативных систем и к возникновению смешанной динамики при возмущениях консервативных обратимых систем, когда возмущения сохраняют обратимость, но разрушают консервативность. В теории обратимых систем основные задачи проекта будут связаны с исследованием бифуркаций столкновения и слияния аттрактора и репеллера, ведущих к возникновению т.н. обратимого ядра (нового типа замкнутых инвариантных множеств, открытых в последних работах участников проекта; внутренняя структура обратимых ядер на настоящий момент практически не изучена). Особая актуальность проекта состоит в том, что он направлен на решение основополагающих задач, долгое время считавшиеся недоступными (в теории диссипативных систем с хаотической динамикой предполагается доказать псевдогиперболичность для широкого класса динамических систем, естественно возникающих в приложениях; в теории консервативных хаотических систем будет решена проблема Эрмана о положительной метрической энтропии; в теории обратимых систем будет доказана т.н. гипотеза о смешанной динамике, а также исследована структура обратимых ядер).