Линейные и нелинейные задачи математической физики

Проект направлен на развитие спектральной теории линейных операторов, качественной теории нелинейных уравнений и теории динамических систем для серии задачи современной математической физики и состоит из трех основных частей. Первая часть посвящена развитию спектральной теории эллиптических операторов в нескольких направлениях. Первое из них ‒ исследование эллиптических операторов на квантовых графах с малыми ребрами и изучение их изолированных собственных значений с нестандартным поведением при уменьшении длин ребер. Второе ‒ доказательство операторных оценок для слабо нелинейных задач в областях с быстро осциллирующими границами общего вида и различными краевыми условиями на них. Третье ‒ изучение спектральных свойств дифференциальноразностных операторов с малыми переменными сдвигами. Вторая часть проекта посвящена исследованию нелинейных уравнений. Первое направление исследование – изучение решений нелинейного уравнения Шредингера с квазипериодическими потенциалами. Второе направление – описание типичных в смысле теории катастроф особенностей решений системы уравнений одномерного изоэнтропического газа для важных случаев Чаплыгина, системы уравнений гидродинамического граничного слоя и двумерного линейного однородного волнового уравнения с постоянными коэффициентами. Третья часть проекта направлена на исследования качественных и асимптотических свойств решений нелинейных автономных систем с неавтономными мультипликативными детерминированными и стохастическими возмущениями, интенсивность которых затухает со временем. Исследуется влияние возмущений на глобальные свойства решений, таких как наличие и потеря устойчивости, бифуркации и возможные перестройки решений, а также их асимптотическое поведение на далеких временах. Все задачи, которые будут рассматриваться в рамках проекта, мотивированы и интересны с точки зрения важных физических приложений и актуальных вопросов фундаментальной математики. Исследования по квантовым графам тесно связаны с задачами моделирования наноструктур и квантовых волноводов. Наличие собственных значений с необычным и нестандартным поведением свидетельствует о присутствии интересных физических эффектов в рассматриваемых моделях и о интересном математическом эффекте. Нелинейные задачи с быстро осциллирующей границей моделируют механические и квантово-механические структуры, имеющие различные неоднородности на границе. Ожидаемые операторные оценки описывают сходимость решений возмущенных к усредненным в максимальном сильном смысле, что исключает различные патологии, которые порой возникают при наличии только слабых сходимостей. Заявленные исследования дифференциально-разностных уравнений с малыми сдвигами – совершенно новое, прорывное направление в фундаментальной математике. С точки зрения физики их можно интерпретировать как нелокальные модели, в которых учитывается влияние ближайших соседей на процесс в данной точке. Явление локализации в периодических и квазипериодических потенциалах в присутствии нелинейных членов – интереснейшая задача для теоретической математики, так как речь идет о пересечении двух больших и активно развиваемых направлений: линейные квазипериодические операторы и нелинейные уравнения Шредингера. Какие эффекты возникают в нелинейных уравнениях с квазипериодическими членами – очень актуальная и нетривиальная задача. Они мотивированы и важными физическими приложениями в теории конденсата Бозе-Эйнштейна (БЭК) и нелинейной оптики, когда конденсат удерживается лазерной «ловушкой и квазипериодический потенциал такой «ловушки» естественно возникает при использовании лазеров с различными частотами. Развитие теории неавтономных систем нелинейных дифференциальных уравнений мотивировано важными физическими приложениями. С математической точки зрения он позволит раскрыть возможность использования слабых затухающих со временем возмущений для эффективного управления динамикой нелинейных систем.