Линейные и нелинейные уравнения в периодических средах

Проект включает в себя решение следующих задач: 1) спектральные свойства операторов Лапласа и Шредингера на периодических метрических графах; 2) спектральные свойства дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами, ассоциированных с уравнениями good и bad Boussinesq и нелинейным уравнением Шредингера на окружности; 3) прямые и обратные спектральные задачи, связанные с исследованием неустойчивости волновых явлений в неоднородных средах. Актуальность, значимость и новизна проекта заключаются в следующем. 1) Дифференциальные операторы на метрических графах имеют многочисленные приложения в квантовой механике, химии, нанотехнологиях, теории волноводов и т.д. Дифференциальные операторы на периодических метрических графах – относительно новый раздел теории операторов. Большинство работ по данной тематике ограничивается рассмотрением операторов на графах конкретной заданной структуры. Поставленные в проекте задачи исследования спектра операторов на произвольных периодических графах являются новыми. 2) Уравнения Буссинеска относятся к важному классу нелинейных уравнений гидродинамики. Уравнение good Boussinesq на окружности методом обратной задачи решено только в случае малых бесконечно гладких начальных условий. Мы рассматриваем случай произвольных начальных данных. Уравнение bad Boussinesq не изучалось. 3) Комбинация идей абстрактной алгебры и классических понятий теории рассеяния, возможно, позволит обобщить теорию рассеяния на нелинейные задачи гидро-газодинамики. Это обобщение является новым шагом в изучении турбулентных явлений и связанных с ними обратных задач.