Новые интегральные представления для быстроменяющихся асимптотических решений и их приложения в задачах гидродинамики и квантовой механики

Для самых общих лагранжевых сингулярностей (каустик и фокальных точек) предложены новые эффективные интегральные представления канонического оператора Маслова. Получены новые эффективные асимптотические формулы для решений линейных и нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, основанные на характеристиках с нестандартной структурой, в частности, на характеристиках с особенностями. В качестве приложений такие решения использованы в теории распространения и набега на берег гравитационных волн на поверхности воды и при изучении вихревых и волновых процессов в гидродинамике. Формулы применены к анализу реальных волн (Алжирского (2003 г.) и Японского (2011 г.) цунами). Развиты новые методы усреднения широкого класса уравнений математической физики с быстро меняющимися коэффициентами, работающие в ситуациях, когда решения этих уравнений описываются быстро меняющимися функциями. Получены асимптотические решения уравнений магнитной гидродинамики, описывающие сглаженные разрывы. В двумерном и трехмерном случаях исследована задача Коши для оператора магнитной индукции в движущейся проводящей жидкости при малом сопротивлении. Описаны лагранжевы многообразия и изучен индекс Маслова, соответствующие операторам Шредингера с дельта-потенциалами на сферически симметричных многообразиях.