Численные и топологические методы исследования динамических систем, аппроксимации решений эволюционных уравнений и алгебро-геометрические структуры

Цели: развитие теории динамических систем и дифференциальных уравнений, исследование связанных с этой теорией вопросов теории слоений и теории групп, а также численное моделирование и аналитическое исследование систем с приложениями к физике, геофизике и инженерии. Проведенные исследования объединены общей идеей развития качественной теории динамических систем. При этом динамика изучается как в классическом понимании, для однопараметрических семейств преобразований многообразия, так и для алгебро-геометрических структур и бесконечномерных эволюционных уравнений. Особое место занимают приложения теории динамических систем к исследованию конкретных моделей физики, биологии, инженерии. Для численного исследования динамических систем были применены современные методы параллельного программирования для многоядерных и многопроцессорных гетерогенных систем с помощью программно-аппаратной архитектуры CUDA. Для визуализации расчетов был использован язык Python. Результаты: новые фундаментальные результаты были получены по следующим направлениям - качественная теория и топологические аспекты динамических систем, теория слоений и групп, компьютерная топология и топология вещественных алгебраических многообразий, аппроксимация решений эволюционных уравнений, динамический хаос, аттракторы и теория бифуркаций. Большую часть исследования составляют топологические аспекты динамики. Понимание динамической системы, как континуального или дискретного семейства преобразований топологического многообразия, приводит к тесной связи качественных свойств системы с топологией несущего многообразия и ключевых инвариантных подмножеств. Показано, что для топологических потоков с конечным гиперболическим цепно-рекуррентным множеством на поверхности существует непрерывная энергетическая функция Морса. Для хаотических трехмерных диффеоморфизмов с динамикой источник - сток участники проекта доказали существование гладкой энергетической функции. В традиционном для нижегородской школы динамических систем направлении топологической классификации в рамках проекта также получены новые результаты. Классифицированы сохраняющие ориентацию A-диффеоморфизмы ориентируемых поверхностей рода большего единицы, содержащих одномерные просторно расположенные совершенные аттракторы. Установлено, что вопрос о топологической классификации ограничений диффеоморфизмов на такие базисные множества сводится к задаче топологической классификации псевдоаносовских гомеоморфизмов с отмеченным множеством седловых особенностей. В частности, дано доказательство анонсированной топологической классификация A-диффеоморфизмов рассматриваемых поверхностей, неблуждающее множество которых состоит из одномерного просторно расположенного аттрактора и нульмерных источников.