Качественная теория многомерных систем и современные методы для компьютерного моделирования задач естествознания

Цель научного исследования: на основе объединения подходов двух школ анализа динамических систем (нижегородской школы качественной теории динамических систем и школы аналитических методов исследования дифференциальных уравнений МИЭМ), а также современных высокопроизводительных численных методов и методов машинного обучения разработать новые подходы и методы исследования многомерных динамических систем и апробировать эти методы при исследовании сложных систем, возникающих, в том числе, в прикладных задачах. Задачи научного исследования: в рамках проекта планируется развить единый подход исследования трех типов динамики (диссипативной, консервативной и смешанной). В случае систем близких к консервативным будет рассмотрена фундаментальная проблема различения двух важнейших типов хаоса: консервативного хаоса и смешанной динамики. Здесь предполагается использовать известные критерии и предложить новые, позволяющие различать эти два типа динамики для моделей, поведение траекторий в которых в экспериментах выглядит как консервативное. В случае определенно консервативных систем будут также решаться вопросы их интегрируемости. Будут рассмотрены задачи о построении интегральных многообразий, допускающих явные параметрические представления. Для неинтегрируемых систем будут решаться вопросы о существовании гладких инвариантных мер. В части проекта, посвященной диссипативному хаосу, будут рассмотрены вопросы различения робастно хаотического поведения траекторий, демонстрируемого системами с гиперболическими аттракторами их обобщениями, от поведения траекторий, кажущегося хаотическим лишь на физическом уровне строгости и демонстрируемого системами с квазиаттракторами Афраймовича-Шильникова. Предлагается на основе развития понятия доминантного расщепления предложить новые эффективные методы проверки робастности странных аттракторов. Отдельно стоит отметить задачу создания новых методов классификации типа динамического хаоса на основе методов машинного обучения. Будут решаться задачи кластеризации и классификации временных рядов, генерируемых различными динамическими системами. Созданные методы будут применяться для исследования динамических систем, представляющих как теоретический интерес (системы Лоренца, Рёслера, Шимицу-Мориока и их многомерные обобщения), так и важных с прикладной точки зрения (модели связанных нейронов, генных репрессиляторов, системы, моделирующие колебания микропузырьков газа в жидкости, модели нелинейной оптики, химические осцилляторы и др.)