Развитие и применение методов теории динамических систем к физическим моделям

Объект исследования: динамические системы и их приложения. Цель работы: фундаментальной целью научного исследованиями является получение новых знаний о динамических системах, развивающих гиперболическую теорию, топологию, теорию бифуркаций, теорию Конли, теорию размерности, теорию аппроксимаций. Прикладной целью проекта является построение и исследование (в том числе численными методами) математических моделей ансамблей осцилляторов, эффектов нелинейной динамики волн, включая солитоны, солитоны огибающей и их ансамбли, устойчивости зоны повышенного давления, ограниченной многоярусными гибкими пневмооболочками. Задачи научного исследования: 1) изучение связи между структурой цепно рекуррентного множества динамической системы и топологией несущего его замкнутого многообразия Mn. 2) построение энергетических функций для динамических систем. 3) построение устойчивых дуг в пространстве динамических систем. 4) исследование структуры пространства блуждающих орбит диффеоморфизмов. 5) изучение динамики волн. Методология исследования: для изучения структуры цепно рекуррентного множества динамических систем существенно используется теория гомологий. Построение энергетических функций для динамических систем основано на фундаментальном факте существования фильтрации для -устойчивых динамических систем. Построение устойчивых дуг, соединяющих диффеоморфизмы ‘‘источник-сток’’ основано на гомотопической теорией гомеоморфизмов поверхностей Нильсена-Терстона. Метод факторизации пространства блуждающих орбит использует теорию свободного и разрывного действия групп на топологических пространствах. Для изучения динамики волн используется метод сведения уравнений мелкой воды, асимптотические методы, метод поиска точных решений на основе модификации преобразования Кэрриера-Гриспана, метод обратной задачи рассеяния. Результаты работы: 1) Получены оценки на минимальное количество изолированных периодических точек омега-устойчивых 3-диффеоморфизмов, использующие информацию о структуре аттракторов. 2) Построен пример омега-устойчивого 3-диффеоморфизма с двумерным неориентируемым растягивающимся аттрактором, все остальные базисные множества которого являются тривиальными. Конструктивно доказано существование энергетической функции у построенного диффеоморфизма. 3) Получено достаточное условие односвязности замкнутого n-многообразия, следующее из свойств, заданного на нем диффеоморфизма Морса-Смейла. 4) Конструктивно доказано существование дуги, соединяющей сохраняющие (меняющие) ориентацию диффеоморфизмы ``источник-сток'', целиком состоящей из диффеоморфизмов ''источник-сток''. 5) Доказан критерий существования связного характеристического пространства орбит для градиентно-подобных диффеоморфизмов на поверхностях. 6) Представлен метод трансформации линейных уравнений мелкой воды. Получены точные решения в элементарных функциях для определенных конфигураций дна в форме подводных гор. 7) Показано, что даже незначительные неупругие эффекты при столкновениях солитон-солитон могут накапливаться и приводить к качественно иному асимптотическому поведению. 8) Установлено, что в стохастических полях волн с относительно малым разбросом по направлениям движения могут возникать интенсивные волновые паттерны, которые сохраняются в течение десятков периодов волны.