Численные методы и параллельные вычислительные алгоритмы решения обратных задач электродинамики на основе объемных сингулярных интегральных уравнений

Были исследованы три обратные задачи, возникающие в электродинамике:1) двумерная обратная задача восстановления комплексной кусочно-гельдеровой функции неоднородной диэлектрической проницаемости объекта по измерениям поля в ближней зоне. Краевая задача для уравнения Гельмгольца была сведена к объемному (двумерному) интегральному уравнению Липпмана-Швингера 1-го рода по (предполагаемой) области неоднородности. Была доказана теорема об эквивалентности краевой задачи интегральному уравнению.3) трехмерная обратная задача восстановления комплексной кусочно-гельдеровой функции неоднородной диэлектрической проницаемости объекта по измерениям поля в ближней зоне. Краевая задача для уравнения Гельмгольца была сведена к объемному (трехмерному) интегральному уравнению Липпмана-Швингера 1-го рода по (предполагаемой) области неоднородности. Была доказана теорема об эквивалентности краевой задачи интегральному уравнению.3) векторная (электромагнитная) обратная задача восстановления комплексной кусочно-гельдеровой функции, описывающей неоднородность (диэлектрическую проницаемость) объекта по измерениям поля в ближней зоне. Краевая задача для системы уравнений Максвелла была сведена к объемному (трехмерному) векторному интегро-дифференциальному уравнению по (предполагаемой) области неоднородности. Была доказана теорема об эквивалентности краевой задачи интегральному уравнению.Предложен и обоснован новый двухшаговый метод решения всех трех обратных задач: на первом шаге решается линейное интегральное уравнение 1-го рода для неизвестной "функции-тока"; на втором шаге производится восстановление параметров неоднородностей с помощью явного (нелинейного) представления через сингулярный интеграл от решения интегрального уравнения внутри объекта.Такой подход является оригинальным. В нем не требуется знание какого-либо начального приближения. Метод не является итерационным, не требует минимизации функционала и регуляризации по Тихонову.Впервые доказаны теоремы о единственности и разрешимости для рассматриваемых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений (в специальных классах функций) и обратных задач в целом.Разработан и обоснован метод коллокации для численного решения интегрального уравнения 1-го рода с выбором кусочно-постоянных базисных функций.Разработан адаптивный метод для решения задачи сначала на "крупных", а затем на "мелких"сетках (для уточнения решения), позволяющий определить положение объекта/объектов и функцию, описывающую неоднородность, с относительной погрешностью не более 5%.Для решения задачи на суперкомпьютере разработан параллельный вычислительный алгоритм для вычисления матричных элементов (кратных интегралов с обобенностью и без особенности) и для решения систем линейных алгебраических уравнений (с предварительно построенным предобуславливателем, учитывающим специальный вид матрицы системы).Численные методы и вычислительные алгоритмы реализованы в виде комплекса программ наязыке С++ с использованием MPI для решения обратных задач. Выполнена отладка и проведено тестирование комплекса программ на модельных задачах.Для решения конкретных (практических) задач предложена процедура "предпроцессинга"(обработка и фильтрация входных данных задачи - данных измерений).Предложена процедура "постпроцессинга" (основанная на выделении "фона" решения и на повороте источника и удалении "артефактов"), позволяющая фильтровать (улучшать) изображение неоднородностей.Проведены вычислительные эксперименты и расчеты по решению ряда конкретных важных обратных задач электродинамики на суперкомпьютере, в том числе, по обнаружению неоднородностей малого размера (что важно для задач диагностики рака молочной железы при микроволновой томографии).Выполнено обобщение указанного метода и результатов на n-мерный случай.Зарегистрировано 2 комплекса программ для ЭВМ (файлы регистрации приложены к отчету).