Асимптотические методы в задачах математической физики

Исследование влияния малых возмущений на нелинейные процессы разной природы представляет одну из интересных задач современной теории возмущений. Ключевой проблемой остается влияние возмущений на процессы близкие к неустойчивым. Математические модели приводят к дифференциальным уравнениям с малым параметром в новых постановках задач. Математические проблемы состоят в нахождении более простых модельных уравнений и редукций к ним, а также в выявлении структуры решений в терминах известных функций с использованием асимптотических разложений. Объектом исследования являются дифференциальные уравнения как обыкновенные так и в частных производных. Цель исследования – разработка асимптотических и алгебраических методов для получения информации о решениях этих уравнений. На этом пути исследован ряд задач в общей математической постановке. За отчетный период получены следующие результаты. 1. Построены глобально гладкие решения временного уравнения Шредингера, определяемых консервативными гамильтоновыми системами с двумя степенями свободы. 2. В терминах гипергеометрической функции представлено общее решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с рациональной правой частью 3. Изучен дискретный аналог классического уравнения Лиувилля, который является точно интегрируемым по Дарбу. 4. Исследована задача Римана о скачке кусочно-аналитической функции на контуре и задача интерполяции целой функции на счетном множестве точек в комплексной плоскости. 5. Исследована вариационная задача о минимизации функционала энергии, возникающая в теории мультиферроиков. 6. Исследована долговременная асимптотика решений для класса асимптотически автономных систем на плоскости. 7. Построена теория возмущений для вспомогательной линейной системы уравнений в теории интегрирования уравнения Пенлеве-2. 8. Исследована краевая задача для эллиптического оператора в многомерной неограниченной области при возмущении краевого условие Стеклова, которое на малом участке границы заменяется на условие Неймана. 9. Для системы уравнений Эрингена, описывающей поведение нематических жидких кристаллов доказана теорема существования и единственности. 10. Разработан и опробован метод построения высших симметрий для полудискретных уравнений гиперболического типа.