Современные методы математического моделирования и их приложения

Объектом исследования являются математические модели композитных сред; неклассические дифференциальные уравнения с частными производными; дискретные системы; концепции многомасштабных методов и передовых дискретизаций; машинное обучение и нейронные сети; особенности развития социально-экономических систем. Целью работы являются получение новых результатов в области краевых задач для неклассических дифференциальных уравнений; анализ нелинейных задач теории упругости; получение новых структурных свойств графов; разработка многомасштабных методов для нестационарных задач и локальных многоуровневых подходов; разработка модуля экспертной системы с обучением на данных моделирования; постановка задачи многофакторного моделирования процессов в ключевых элементах региональной социальноэкономической системы в новых условиях. Методы, используемые в работе: современные методы теории дифференциальных уравнений, перераспределения эйлеровых вкладов, байесовский подход к принятию решений с использованием частичных данных, многомасштабный бессеточный метод решения задачи ненасыщенной фильтрации в трещиноватой среде, содержательное описание модели, метод декомпозиции, факторный анализ. Результаты НИР: - Доказана разрешимость задач оптимального управления геометрическими параметрами жестких включений для нелинейных моделей, описывающих равновесие композитных тел. - Доказано существование решения контактной задачи о равновесии упругой пластины. - Доказаны разрешимости краевых задач для уравнения смешанного типа третьего порядка, не разрешенного относительно старшей производной. - Доказана однозначная регулярная разрешимость краевых задач с нелокальным граничным условием для уравнения смешанно-составного типа третьего порядка. -Получена оценка погрешности приближенных решений задач относительно их точного решения. - Доказано точное описание граней в тороидальных триангуляцииях с минимальной степенью не менее 3. Доказано обобщение результата Бородина-Ивановой 2022 г., описывающего грани триангуляций с минимальной степенью не менее 4 на торе, причем все параметры в описании неулучшаемы. Дан исчерпывающий список точных описаний граней в плоских триангуляциях с минимальной степенью не менее 4, состоящий из 32 элементов. - Разработан байесовский подход к принятию решений с использованием частичных данных, построена конечно-элементная аппроксимация задачи пороупругости в трещиноватых средах с гидроразрывами. В этом подходе используется частичная явная выборка, схема расщепления напряжений и модель дискретных трещин, что позволяет выбрать наиболее вероятную выборку. - Представлена полудискретная математическая модель связанной системы уравнений реакции-диффузии с использованием метода конечных объемов и полностью неявной схемы аппроксимации по времени. Исследованы два подхода расщепления и проведено численное исследование. - Рассмотрено влияние неньютоновской жидкости на гомогенно-гетерогенную реакцию в масштабе пор в случайных пористых средах. Модель основана на уравнениях Стокса, уравнениях конвекции-диффузии-реакции и граничном условии Робина. Численный анализ показывает, что параметры потока жидкости оказывают минимальное влияние на кривые проскока, особенно для катализатора. - С помощью комплексного представления матрицы редуцированного бикватерниона получены достаточные и необходимые условия для того, чтобы задача редуцированной бикватернионной полной задачи наименьших квадратов имела редуцированный бикватернион, также предложен эффективный алгоритм решения такой задачи. - Разработан многомасштабный бессеточный метод для решения задачи уравнения Ричардса в трещиноватых средах. Этот подход использует обобщенный многомасштабный метод конечных элементов и локальные спектральные задачи, точно фиксируя поведение решения с меньшим количеством степеней свободы по сравнению с МКЭ с мелкой сеткой. - Предложена общая постановка задачи многофакторного моделирования процессов в ключевых элементах региональной социально-экономической системы в новых условиях (отрасль специализации; транспортно-логистическая система; демографическая система; система межрегионального и межпроектного взаимодействия). Дано содержательное описание совокупности (набора) процессов, характерных для региональной экономики (в предварительно определенных ключевых элементах). Выделены необходимые для моделирования структурные составляющие описания: укрупненный состав процессов, их основные свойства, условия функционирования, ограничения, причинно-следственные связи между компонентами и т.п. Результаты НИР будут применены для дальнейших исследований, в образовательном процессе. Опубликованы 24 научных статей, в том числе, в журналах с квартилем Q1/Q2 - 6, в журналах, индексируемых в SCOPUS - 16, ядро РИНЦ - 3; защищена 1 кандидатская диссертация, зарегистрированы 2 результата интеллектуальной деятельности, сделаны 14 научных докладов на международных конференциях.