Аналитические и численные методы построения решений нелинейных математических моделей

Цель исследования - численно и аналитически описать свойства решений и динамику нелинейных дифференциальных систем, встречающихся в различных областях науки, в частности, в физике (нелинейные осцилляторы, модели конвекции, модели гидродинамики), в нейродинамике (модели нейронов, ансамбли взаимодействующих элементов), механике (многочастичные динамические системы, динамика космического полета), биологии (модели пищевых цепочек жертва-хищник-суперхищник, модели типа Лотки-Вольтерры), химии (реакция Белоусова-Жаботинского и ее обобщения). Задачи научного исследования. 1. Разработать и модернизировать ряд методов для построения инвариантных многообразий и точных решений нелинейных математических моделей. 2. Классифицировать инвариантные многообразия для некоторых прикладных систем (согласно описанию выше). 3. Получить необходимые и достаточные условия интегрируемости для систем важных с прикладной точки зрения (согласно описанию выше). 4. Найти новые классы эквивалентности для интегрируемых нелинейных осцилляторов и соответствующие первые интегралы, интегрирующие множители и инвариантные кривые. 5. Найти новые примеры интегрируемых нелинейных осцилляторов, встречающихся в физике, механике, биологии и химии. 6. Разработать и проанализировать баллистические схемы перелета на окололунные орбиты, использующие особенности динамики ограниченной задачи трех тел. 7. Разработать и проанализировать методы построения датасетов для обучения моделей машинного обучения, используемых при поиске квазипериодических решений круговой ограниченной задачи трех тел. 8. Разработать численные методы интегрирования уравнений ограниченной задачи трех тел, для поиска периодических и квазипериодических орбит вокруг точек Лагранжа, в том числе с помощью методов машинного обучения. 9. Исследование комплексных асимптотик решений дифференциальных уравнений для квадратичных гамильтонианов на алгебре su(2). Исследование асимптотик туннельного расщепления с осциллирующим эффектом на данной алгебре. 10. Найти новые формальные асимптотические разложения конкретных нелинейных дифференциальных уравнений, применив разработанные методы многомерной степенной геометрии.