Разработка гибридного метода конечных элементов с локальной регулязирацией решений на основе асимптотических моделей градиентной теории упругости

Предложено новое упрощенное представление общего решения уравнений равновесия ГТУ в форме Папковича-Нейбера. Это представление содержит классическую часть, выражаемую через гармонические потенциалы Папковича, а также дополнительную градиентную часть, выражаемую в упрощенном виде - в виде разложения Гельмгольца через скалярный и векторный потенциалы. Это упрощенное представление получено формальным выводом через введение обобщенной функции Галеркина для уравнений равновесия ГТУ. Для этого представления впервые в ГТУ доказана теорема о полноте. Показана, что полученная форма общего решения содержит в себе корректные асимптотические решения задач о трещинах, которые были построены ранее в ГТУ и использованы в данном проекте при модификации конечных элементов в предложенном варианте реализации метода конечных элементов. Построены новые асимптотические решения для задач роста трещин с оценкой характера коцентрации напряжений в решении динамической ГТУ. Впервые показана возможность построения таких решения для плоских мод деформаций (ранее такое решение было построено только для моды III), что потребовало построения решения с использованием представления общего решения динамической ГТУ через потенциалы Ламе, а также комбинации итерационного метода, метода разложения по малому параметру и асимптотического анализа. Показано, что в построенном решении возможен прогноз устойчивого роста трещины в изначально заданном направлении в соответствии с критерием максимальных главных напряжений. Представлена формулировка нового С1 непрерывного метода конечных элементов (МКЭ) для градиентной теории упругости (ГТУ), в которой используются модифицированные элементы, располагаемые вблизи вершины трещины и содержащие расширенные наборы функций формы, обогащенные асимптотическими решениям ГТУ для трещин в однородных и составных телах. В реализованных элементах обеспечивается непрерывность перемещений и их производных (С1 непрерывность) в узлах конечно-элементной сетки за счет использования полиномов специального вида. Дополнительные функции формы вводятся специальным образом, обеспечивающим сохранение С1 непрерывности численного решения. На основе проведенных расчетов показана возможность значительного повышения точности и скорости сходимости метода по сравнению со стандартной формулировкой. Впервые построено обобщение классического асимптотического ряда М. Уильямса для задач о трещинах в ГТУ. Это решение построено с использованием предложенной нами упрощенной формы общего решения Папковича-Нейбера для ГТУ. В качестве определяющих соотношений использована однопараметрическая модель Айфантиса. Показано, что построенный асимптотический ряд в ГТУ, также как и в классической теории упругости, может быть сформулирован с разделением переменных, то есть с явным выделением степеней радиальной координаты и функций угловой координаты. Показано, что построенный ряд содержит в себе классическое решение М. Уильямса в случае незначительных градиентных эффектов. Получены оценки размеров зон вокруг вершины трещины, в которых доминирующее влияние оказываются члены асимптотического ряда до 4-го порядка включительно. На основе этих оценок, в частности, выбран оптимальный размер реализованных модифицированных конечных элементов. Предложена формулировка нового гибридного С1 непрерывного метода конечных элементов (МКЭ) для решения трехмерных задач градиентной теории упругости (ГТУ), построенного на основе использования модифицированных конечных элементов, располагаемых на фронте трещины и содержащих расширенные наборы функций формы, обладающих необходимым асимптотическим поведением. Модифицированные элементы построены на базе 8-узловых изопараметрических гексаэдральных элементов, разработанных для трехмерных задач ГТУ. Реализованный вариант МКЭ позволяет снизить требования к размеру элементов вблизи фронта трещины для получения численных решений приемлемой точности, что оказывается особенно важным для ресурсоемких вычисленных в рамках трехмерной формулировки ГТУ. Проведены исследования влияния дополнительных параметров ГТУ на характер реализующихся «трехмерных эффектов» на концентрацию регулярных напряжений вблизи фронта трещины. Установлены эффекты, связанные со снижением концентрации вблизи свободной поверхности образца, коррелирующие с аналогичным поведением классических (но сингулярных) решений. С использованием разработанных плоских конечных элементов проведено моделирование экспериментальных данных по разрушающим нагрузкам образцов эпоксидной смолы, содержащей надрезы и естественные трещины различной длины и различно ориентированные по отношению к нагрузке. Установлена возможность достоверного прогноза разрушающих нагрузок для образцов с различной геометрией трещин при использовании единственного значения масштабного параметра материала (в рамках определяющих соотношений ГТУ в форме Айфантиса), идентифицированного по результатам испытаний образцов с центральной вертикальной трещиной. Получены зависимости коэффициентов концентрации регуляризованных напряжений, значений амплитудных факторов асимптотических решений ГТУ и J-интеграла на основе разработанных плоских конечных элементов для описания стандартных испытаний образцов с краевыми и центральными трещинами. Предложены регрессионные зависимости для указанных величин с учетом их зависимости от геометрии образцов, длины трещины, значения коэффициента Пуассона и масштабного параметра материала, которые могут быть использованы для идентификации последнего на основе результатов стандартных испытаний на трещиностойкость (для хрупких и квази-хрупких материалов). Предложен новый метод построения решений для задач о трещинах конечного размера в рамках ГТУ. Метод основан на применении решения задачи Эшелби и энергетического критерия Гриффитса для оценки критических напряжений начала роста трещины. Получено замкнутое выражение для оценки критических напряжений начала роста трещины, записанное с точностью до осредненных значений компонент тензора Эшелби и его вторых производных. Показано, что классическое решение может быть восстановлено из полученного решения предельным переходом, если масштабный параметр материала стремится к нулю. Показано, что для трещин достаточно большой длины по сравнению с масштабным параметром материала, построенное решение прогнозирует согласованность прогнозов ГТУ и классического решения для критической нагрузки начала роста трещины, что позволяет валидировать известные ранее численные решения и силовые критерии, применяемые в рамках ГТУ.