Количественные методы исследования марковских цепей и моделей, и их приложения

В современной литературе очень часто встречаются стохастические модели с частично известной информацией о параметрах работы системы. Например, при описании информационных систем используется неоднородный процесс рождения и гибели (ПРГ), для которого известны не сами интенсивности, а какие-то характеристики, например, периодичность, интегралы по периоду и значения в некоторые моменты наблюдений. С другой стороны, уже несколько десятилетий активно исследуются неоднородные марковские процессы, являющиеся моделями и успешными приближениями стохастических моделей сложных систем. Данные исследования особенно активизировались в последние годы. Предлагаемый проект направлен на дальнейшую разработку и исследование общих нестационарных марковских и близких к ним моделей и исследование их аналитических и асимптотических свойств в условиях неполной информации. В нем планируется изучение общего класса моделей типа M^X_n / M^X_n/1 , в котором допустимы групповые поступления и групповые обслуживания требований, без существенных ограничений на правильность инфинитезимальной матрицы процесса, в отличие от наших более ранних исследований, в которых рассматривались общие подходы к исследованию (однородных и неоднородных) марковских цепей и моделей. В этом общем случае преобразованная матрица интенсивностей процесса не будет являться существенно неотрицательной, и, следовательно, применение нашего стандартного средства - логарифмической нормы операторной функции - не приводит к наилучшим результатам. В предлагаемом проекте предусмотрена разработка аналитических методов нахождения параметров этих систем, изучение их эргодичности, отыскание их предельных характеристик, разработка методов вывода характеристик систем, а также оптимизация таких систем, которая вполне достижима с помощью методов, разработанных авторами проекта, с учетом высокой квалификации участников научного коллектива. Методы решения предлагаемых задач представлены в большом числе публикаций (в том числе совместных) участников коллектива в авторитетных высокорейтинговых журналах.Планируемые к разработке в данном проекте статистические алгоритмы основаны на замене краевой задачи эквивалентным ей интегральным уравнением и не предполагают дискретизации ни времени, ни пространства. В них строятся несмещенные статистические оценки решения краевой задачи, либо оценки, смещение которых оценивается в процессе вычислений. Таким образом, в этих алгоритмах отсутствует погрешность метода, а вычислительная погрешность носит статистический характер и оценивается в ходе вычислений. Медленная сходимость статистических алгоритмов не является препятствием их эффективной реализации, так как эти алгоритмы легко распараллеливаются. Объем вычислений в статистических алгоритмах растет линейно с размерностью задачи. В задачах большой размерности (например, диффузионный метод Монте-Карло в квантовой химии) или в задачах со сложной структурой границы области (например, при вычислении электростатических емкостей систем проводников) стохастические алгоритмы практически не имеют конкурентов.Разнообразие дифференциальных уравнений и краевых задач для них не позволяет создать универсальных методов их численного решения. Методы статистического моделирования, как правило, используются в тех случаях, когда другие методы не работают. Наиболее эффективны методы, основанные на сведении краевой задачи к эквивалентному интегральному уравнению. Процедура сведения краевой задачи к интегральному уравнению не универсальна, так как желательно получить интегральное уравнение с неотрицательным ядром. К настоящему времени проблема решена участниками проекта для эллиптического оператора с гладкими коэффициентами, в случае первой краевой задачи и задачи Коши для параболического уравнения с гладкими коэффициентами. Получение удобных интегральных уравнений для решения других типов краевых задач является новой важной задачей. Особый интерес представляют краевые задачи в неограниченных областях. Участники проекта предполагают применить новые алгоритмы для вычисления электростатических емкостей систем проводников в средах с переменной диэлектрической проницаемостью.При реализации проекта будут использованы как традиционные методы теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей и теории массового обслуживания, так и оригинальные методы, ранее разработанные участниками проекта, например, метод исследования марковских цепей с непрерывным временем с помощью прямой системы Колмогорова, и другие методы, разработанные основными участниками проекта.Используя как методы, разработанные авторами заявки ранее, так и существенную их модификацию, будет разработан общий подход для нахождения важнейших предельных характеристик неоднородных марковских цепей с непрерывным временем в случае неполной или частичной информации об их инфинитезимальных характеристиках. Подход, предлагаемый авторами проекта, позволит получать оценки для важнейших предельных характеристик для широкого класса неоднородных марковских цепей с непрерывным временем и неполной информацией.