Классификация интегрируемых дифференциально-разностных уравнений в 3D

Проект посвящен разработке новых подходов к задаче классификации интегрируемых уравнений с тремя независимыми переменными. Интегрируемые системы представляют собой замечательный класс уравнений, которые до некоторой степени могут быть решены явно. Эта ''точная разрешимость'' обычно обусловлена некоторой ''внутренней симметрией'', которая делает интегрируемые системы математически богатыми и интересными объектами, имеющими глубокие связи с различными областями математики, такими, как алгебра, анализ и геометрия. Кроме того, интегрируемые системы появляются как приближения к более сложным системам физического происхождения, что позволяет рассматривать интегрируемые системы как новые нелинейные специальные функции математической физики. Поэтому задача классификации интегрируемых систем является одной из важнейших проблем естествознания, оказывающая решающее влияние как на чистую, так и на прикладную математику. В размерности 1 + 1 проблема классификации интегрируемых систем была успешно решена на основе симметрийного подхода (Шабат, Ибрагимов, Михайлов, Соколов, Адлер, Ямилов, и это лишь некоторые ключевые авторы), что привело к обширным спискам интегрируемых систем в рамках особо интересных классов. Эта часть теории к настоящему времени хорошо обоснована. Напротив, результаты классификации многомерных интегрируемых систем немногочисленны. Это в первую очередь связано с нелокальностью высших симметрий многомерных уравнений, что затрудняет их нахождение. Таким образом, разработка альтернативных подходов к классификации, которые были бы эффективны в измерениях 2 + 1, имеет первостепенное значение: каждая интегрируемая система - это ``жемчужина'' с красивой и богатой математической структурой и потенциально важными физическими приложениями. В течение многих лет интегрируемые системы играли объединяющую роль, связывая воедино различные и, казалось бы, разрозненные области математики и физики, тем самым поддерживая целостность нашей дисциплины. Участники настоящего проекта недавно предложили три новых подхода к трехмерной интегрируемости, которые уже доказали свою эффективность. А именно: (а) Метод гидродинамических редукций и их дисперсионных деформаций. (б) Метод интегрируемой конформной геометрии. (в) Метод характеристических алгебр Ли, основанный на концепции интегрируемости по Дарбу. Основная цель нашего проекта заключается в развитии этих методов, в поиске взаимосвязей между ними и приведении их к единообразию. Ожидается, что это прольет новый свет на интегрируемость в размерности 2 + 1. Кратко остановимся на конкретных задачах. Предполагается развитие подхода к классификации трехмерных дифференциально-разностных интегрируемых уравнений на основе метода гидродинамических редукций и их дисперсионных деформаций. Классификация уравнений второго порядка характеристическая конформная структура которых удовлетворяет условию Эйнштейна-Вейля. Теоретическое обоснование метода дисперсионных деформаций. В качестве иллюстрации этого подхода будут классифицированы трехмерные системы с нелокальностью типа ''intermediate long wave'', важным примером которых является многослойная система Бенни с завихренностью в каждом слое. Классификация дисперсионных редукций слабо нелинейных бездисперсионных интегрируемых уравнений в 3D. Установление взаимосвязей между различными подходами, разрабатываемыми в рамках проекта. Недавняя совместная работа участников проекта [E. V. Ferapontov, I. T. Habibullin, M. N. Kuznetsova, V. S. Novikov, “On a class of 2D integrable lattice equations”, J. Math. Phys., 61:7 (2020), 073505, 15 pp] показала, что комбинация алгебраического и геометрического подходов чрезвычайно эффективна и позволяет решать классификационные задачи, которые не могли быть решены ранее при помощи существующих методов. Планируется разработка алгоритма классификации нелинейных интегрируемых дифференциально-разностных уравнений с тремя независимыми переменными одна из которых непрерывна, а две дискретные. Интегрируемость предполагает существование бесконечной серии редукций в виде конечно-полевых систем уравнений ''гиперболического типа'' с двумя независимыми переменными, одна из которых непрерывна, а другая дискретна. Эта ситуация в корне отличается от той, которая изучалась в нашем предыдущем проекте РНФ (№ 15-11-20007, 2015-2019), где рассматривалось трехмерное уравнение типа Тоды и используемые редукции были гиперболическими системами обычных уравнений в частных производных. Теория таких уравнений, восходящая к классическим работам Дарбу и Гурса была окончательно сформирована усилиями Шабата, Лезнова, Смирнова, Ямилова, Жибера и Мукминова 1979-1991гг. Работа по перенесению этой теории на случай дискретных гиперболических систем с двумя дискретными или одной дискретной и одной непрерывной переменными находится на начальной стадии. Понятие характеристической алгебры дискретного уравнения гиперболического типа было введено в работе руководителя проекта [I. T. Habibullin, Characteristic Algebras of Fully Discrete Hyperbolic Type Equations, SIGMA, 1 (2005), 23]. Структура этой алгебры чрезвычайно сложна даже для скалярного уравнения [I. Habibullin, N. Zheltukhina, A. Sakieva, On Darboux-integrable semi-discrete chains, J. Phys. A: Math. Theor., 43:43 (2010), 434017]. В рамках проекта предполагается создание дискретной версии теории интегрируемых по Дарбу систем гиперболического типа и на ее основе разработка методов классификации интегрируемых уравнений в 3D с двумя дискретными и одной непрерывной независимыми переменными. Предполагается разработка алгоритма построения решений интегрируемых по Дарбу систем дифференциально-разностных уравнений гиперболического типа с демонстрацией эффективности алгоритма на примерах систем малой размерности. Будет решена задача классификации интегрируемых дифференциально-разностных гиперболических уравнений на основе симметрийного подхода. Уравнения такого типа изучались только в частных случаях, как преобразования Бэклунда для эволюционных и гиперболических уравнений. Известны лишь отдельные интегрируемые примеры такого типа [Р. И. Ямилов, Обратимые замены переменных, порожденные преобразованиями Беклунда, ТМФ, 85:3 (1990), 368–375]. Трудность задачи при поиске симметрии проявляется в возникновении сложных функциональных уравнений. В рамках настоящего проекта предполагается разработать алгоритм решения таких уравнений на основе характеристических алгебр Ли. Это связывает алгебраический и симметрийный подходы к проблеме интегрируемой классификации. В результате выполнения проекта будут получены списки интегрируемых уравнений в 3D и 2D из определенных классов. Развиты методы построения решений этих уравнений. Создаваемые в рамках проекта классификационные алгоритмы могут быть использованы в дальнейшем при изучении более сложных уравнений и систем. Поскольку объектом исследования являются классы нелинейных уравнений в частных производных и дискретных аналогов, содержащие в качестве основных представителей известные модели физики, биологии и информационных технологий, такие, как системы типа Тоды, уравнение Хироты-Мивы, уравнение Бойера-Финли (Boyer-Finley), дискретное уравнение Кадомцева-Петвиашвили и др., наши исследования являются востребованными.