Тензорные методы аппроксимации негладких функций многих переменных для задач численного моделирования

В данной диссертационной работе рассматривается малоранговый тензорный подход для решения ряда задач численного моделирования, подверженных ограничениям «проклятия размерности». Первая задача численного моделирования, рассматриваемая в данной работе – это двухмерная задача рассеяния волны на объекте (в частотной области). Рассеяние происходит на мультимасштабном объекте, где могут присутствовать одновременно как детали с размером на порядок больше размера волны, так и на порядок меньше, поэтому решение такой задачи требует дискретизации на сверх-мелкой сетке. Предложен метод решения, основанный на применении QTT-разложения и определенном порядке псевдо-координат. Было показано, что наш метод имеет полилогарифмическую асимптотику по сложности и памяти, по сравнению с линейно-логарифмической и полиномиальной в случае с классическим FFT-IE подходом, а также намного лучше масштабируется при росте частоты падающей волны. Второй задачей, рассмотренной в данной диссертации, является задача стохастического оптимального управления (оптимального управления случайным процессом). Используется приближение марковским процессом принятия решений, решается соответствующее ему уравнение Беллмана. В данной диссертации предложен новый алгоритм поиска функции ценности в малоранговом тензорном формате, доказана более низкая асимптотическая вычислительная сложность при выполнении ряда допущений. Третьей задачей, рассмотренной в данной диссертации, является задача компактное представления трехмерной сцены (функции-индикатора в трехмерном пространстве) в памяти компьютера. Предложен алгоритм, основанный на сжатии усеченной версии знаковой функции расстояния, экспериментально показана его эффективность по сравнению с существующими в литературе алгоритмами. Также показано, что алгоритм работает, в том числе, на разрывных трехмерных геологических данных. Теоретическая значимость заключается в разработке алгоритмов с более низкой вычислительной сложностью для многомасштабных и многомерных задач. Практическая значимость проявляется в создании методов, позволяющих эффективно решать сложные задачи на маломощных вычислителях, а также в улучшении хранения и обработки трехмерных данных для применения в радиолокации, робототехнике и геологии.