Численные методы моделирования хаотической динамики

Диссертация посвящена решению проблемы адекватного математического и компьютерного моделирования нелинейных динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями и их дискретными отображениями. Объектом диссертационного исследования являются инструменты математического и компьютерного моделирования нелинейных динамических систем с хаотической динамикой. Предметом исследования выступают численные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, а также компьютерные модели хаотических систем и способы синхронизации хаотических осцилляторов. В работе предложено два новых семейства численных методов - полуявные композиционные решатели с управлением шагом на основе разности коммутаций опорного интегратора, и полуявные многошаговые экстраполяционные методы со встроенным механизмом оценки локальной погрешности на основе принципа двойной экстраполяции. Доказан порядок точности и симметричность предлагаемых численных методов. Для анализа численной устойчивости предложенных методов интегрирования введена модифицированная задача Дальквиста второго порядка с изменяемой симметрией матрицы системы. Введено понятие области предпочтительности численного метода как эффективный инструмент подбора шага интегрирования. На репрезентативном наборе тестовых задач показано, что применение полуявных схем интегрирования позволяет добиться большей адекватности моделирования хаотических динамических систем на ЭВМ, чем при использовании классических алгоритмов Рунге-Кутты, Адамса-Башфорта, Адамса-Мултона, неявных композиционных и экстраполяционных методов. В диссертации предложен новый класс математических моделей с хаотической динамикой – дискретные возвратные отображения с управляемой симметрией фазового пространства. Продемонстрировано превосходство предложенных возвратных отображений в адекватности относительно непрерывных прототипов, а также улучшенные характеристики при решении задачи генерации псевдослучайных последовательностей с точки зрения устойчивости к выходу из хаотического режима. В диссертации предложены новые способы быстрой обобщенной и адаптивной синхронизации хаотических систем на основе свойства обратимости решения полуявных конечно-разностных моделей во времени, а также с применением управления параметром симметрии. Экспериментально продемонстрировано преимущество предлагаемых способов синхронизации при работе с разреженными и зашумленными данными о поведении ведущей системы. Доказана возможность сверхэкспоненциальной сходимости траекторий ведущей и ведомой системы при использовании предложенных методов. В диссертации описан комплекс программ для моделирования хаотических динамических систем, реализованный с применением разработанных в диссертационном исследовании методов, моделей и способов их синхронизации. Приведена оценка характеристик разработанного ПО с точки зрения повышения вычислительной эффективности моделирования хаотических систем. Результаты диссертации могут быть использованы при создании перспективных систем компьютерного моделирования и автоматизированного проектирования.