Итоговый отчет по теме "Дробное исчисление и дифференциальные уравнения дробного порядка, их применение к математическому моделированию социальных, экономических и иных сложных систем и процессов" (2013-2015 гг.)

Цель: развитие теории дифференциальных уравнений дробного порядка, исследование основных начальных и краевых задач для дифференциальных уравнений дробного и распределенного порядка и их применение к математическому моделированию физических и социально-исторических процессов. Исследованы классы линейных обыкновенных и в частных производных дифференциальных уравнений с операторами дробного и распределенного дифференцирования, обобщенных диффузионных и волновых уравнений, уравнений с запаздыванием, лежащих в основе математического моделирования процессов и явлений, протекающих в неоднородных средах. Для уравнений в частных производных порядка, не превосходящего единицы, с операторами дробного дифференцирования Джрабшяна - Нерсесяна решен класс краевых задач, в том числе в областях с криволинейной границей. Доказана теорема о продолжении решений в многомерных областях. В нецилиндрической области решена 1-я краевая задача для уравнения дробной диффузии, и найден аналог формулы Д"Аламбера для дробного диффузионно-волнового уравнения. Решена задача Коши для уравнения диффузии дробного порядка с переменными коэффициентами. Для параболического уравнения высокого порядка с дробной по времени производной решена задача Коши, доказана теорема об общем представлении решения, и построены различные представления фундаментального решения. Решен аналог задачи Гурса для обобщенного телеграфного уравнения. Для классов обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с производными дробного порядка, включая уравнения с операторами дискретно и непрерывно распределенного дифференцирования и уравнения с запаздыванием, решены основные начальные и краевые задачи, доказаны принципы экстремума и априорные оценки, исследованы спектральные вопросы.