Промежуточный отчет по проекту № 18-38-00424 мол_а "Численные методы решения плохо обусловленных задач высокотемпературной ползучести" за 2018 год

Разрабатываются численные методы решения плохо обусловленных задач ползучести, описываемых начальными и краевыми задачами для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. При учете стадий упрочнения и разупрочнения конструкции численное решение задач ползучести традиционными методами сопряжено с известными трудностями, связанными с плохой обусловленностью определяющих уравнений ползучести в окрестности начального момента времени и при разрушении. Для устранения недостатков традиционных методов решения используется метод продолжения решения по параметру. Согласно этому методу аргумент исходной задачи заменяется на новый аргумент продолжения решения, в качестве которого выбирается наилучший аргумент, отсчитываемый в касательном направлении к интегральной кривой исходной задачи, или модифицированный наилучший аргумент, отсчитываемый в направлении, близком к касательному. За первый год реализации проекта были получены следующие результаты: 1) для явного метода Эйлера получена оценка локальной погрешности численного решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, преобразованных к наилучшему аргументу. Получено неравенство, связывающее локальные погрешности численных решений исходной и преобразованной начальных задач в каждой точке интегральной кривой. Дана верхняя оценка локальной погрешности численного решения преобразованной задачи. Доказано, что в окрестности предельных особых точек локальная погрешность численного решения преобразованной задачи не превосходит локальную погрешность решения исходной задачи. Последнее утверждение обобщает результаты, полученные в работах В.И. Шалашилина и Е.Б. Кузнецова; 2) с использованием полученной оценки локальной погрешности предложено и теоретически обосновано модифицированное правило Рунге для преобразованных к наилучшему аргументу начальных задач. Модифицированное правило Рунге позволяет упростить процедуру автоматической смены шага интегрирования, при этом разница оценок локальной погрешности, полученных традиционным правилом Рунге и модифицированным, не превосходит по абсолютной величине половины требуемой точности; 3) рассмотрена задача чистого изгиба балки прямоугольного сечения из анизотропного сплава АК4-1Т под действием постоянного изгибающего момента при постоянной температуре в условиях ползучести. Разработан алгоритм решения указанной задачи с использованием преобразования к наилучшему аргументу. Показано, что переход к наилучшему аргументу позволяет сократить время счета до 61 раза; 4) рассмотрена задача определения установившегося напряженно-деформированного состояния в сплошном вращающемся диске постоянной толщины при постоянной температуре в условиях ползучести. Для описания задачи используется краевая задача для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений, плохо обусловленных в окрестности центра диска (предельная особая точка). Разработан алгоритм решения, использующий переход к наилучшему аргументу, позволяющий устранить предельную особую точку в центре диска и упростить процесс решения; 5) для упрощения вида преобразованных начальных задач предложено использовать модифицированный наилучший аргумент. Он отсчитывается в направлении, близком к касательному, и по свойствам близок к наилучшему аргументу. Рассмотрено применение модифицированного наилучшего аргумента к задачам расчета деформационно-прочностных характеристик металлических конструкций при неоднородном напряженном состоянии в условиях ползучести. Для задачи одноосного растяжения трубчатых образцов из нержавеющей стали Х18Н10Т при постоянной температуре показано, что как с постоянным, так и с переменным шагом интегрирования модифицированный наилучший аргумент позволяет уменьшить время счета при сохранении точности решения; 6) для задачи растяжения трубчатых образцов из стали Х18Н10Т под действием постоянной одноосной растягивающей нагрузки при постоянной температуре в условиях ползучести, описываемой предложенными С.А. Шестериковым и А.М. Локощенко дробно-рациональными уравнениями кинетической теории ползучести, получены необходимые и достаточные условия аналитической интегрируемости в зависимости от значений материальных констант (характеристик ползучести).