Спектральный анализ систем с взаимодействиями, сосредоточенными на множествах нулевой меры

Объектом исследования являются спектральные свойства ряда квантово - механических систем с сингулярными взаимодействиями в двух и трех измерениях. Предмет исследования – математические модели, описывающие обозначенные системы. Целью исследования является проведение спектрального анализа операторов Лапласа с сингулярными взаимодействиями, для ряда систем с различной геометрией как двухмерных, так и трехмерных. В данной работе мы применяем методы теории линейных операторов как классические, так и более новые. Для численных расчетов мы используем пакет FreeFEM++, а также систему Wolfram Mathematica. Для систем с дельта-потенциалами на прямых в двух и трех измерениях, было доказано существование связанных состояний, а также для случая двухмерной системы предложен подход к исследованию спектра с помощью определенной тестовой функции. В случае трехмерной системы была получена верхняя оценка количества связанных состояний. Для квантовой системы из параллельных 3D слоев были доказаны стабильность непрерывного спектра и существование по крайней мере одного изолированного собственного значения. Также была получена классификация связанных состояний системы по количеству и расположению зон знакопостоянства. Полученные результаты могут быть полезны при решении различных физических задач. Рассматриваемые системы являются моделями для физических систем проводящего типа, таких как нано-волноводы, проводящие слои и т.д., а также моделью взаимодействия длинных молекул. Спектр операторов, которые описывают модели, исследуемые в работе, является важнейшей характеристикой системы, определяющей набор возможных состояний системы и их уровни энергии.