Системы дифференциальных уравнений с нестандартными граничными условиями, возникающие при моделировании физических, технологических и биологических процессов

Научной проблемой, на решение которой направлен проект, является построение математической теории и разработка эффективных методов решения задач для систем дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с нестандартными граничными условиями, возникающих при математическом моделировании физических, технологических и биологических процессов. Системы дифференциальных уравнений в частных производных и интегро-дифференциальных уравнений широко используются для описания самых разнообразных физических процессов, включающих в себя течение вязкой жидкости (система уравнений Навье-Стокса или системы уравнений движения неньютоновских жидкостей), механика композитных материалов (система уравнений теории упругости или вязко-упругости), перенос энергии излучением и перенос нейтронов в ядерных реакторах (уравнение переноса излучения). Необходимость моделирования этих процессов возникает в самых разнообразных приложениях: медицина (гемодинамика), инженерные коммуникации (течения в каналах и трубах), разработка новых материалов (мета-материалы, нанотехнологии), большая и порошковая металлургии, производство стекла, авиационная и космическая техника, строительство, энергетика и т.д. Изучение этих систем ведется довольно давно, однако как правило, рассматриваются стандартные граничные условия (Дирихле, Неймана, Робина, условия прилипания и.т.д. ), которые являются одноименными условиями на каждую компоненту решения системы. В то же время в приложениях все чаще возникают более сложные граничные условия, не сводящиеся к стандартным и имеющие системный характер. Нередко граничные условия носят нелокальный характер (условия теплообмена излучением) или же сами описываются уравнениями в частных производных (течение жидкости в канале с упругой стенкой). Обратим также внимание на то, что зачастую именно граничные эффекты становятся определяющими при решении важных прикладных задач (отражение и преломление излучения на границе раздела сред в оптике и томографии, поведение жидкости вблизи границ течений в гидродинамике и т.д.). К нестандартным граничным условиям можно отнести и условия сопряжения моделей разной размерности, появившиеся сравнительно недавно. Модели гибридной размерности позволяют существенно экономить вычислительные ресурсы, а следовательно, помогают решать сложные реальные прикладные задачи. Сколь-нибудь общей математической теории задач описанного типа в настоящее время не существует. В мире есть очень немного лабораторий, разрабатывающих методы решения этих задач, и предлагаемый коллектив проекта включает в себя ведущих специалистов в этой области, способных разрабатывать соответствующую математическую теорию и новые эффективные методы решения. В рамках проекта основные усилия сосредоточены в следующих направлениях: Дальнейшее развитие математической теории разрешимости задач сложного (радиационно-кондуктивного) теплообмена. Исследование асимптотических свойств этих задач. Разработка и анализ специальных полудискретных и асимптотических методов решения задач сложного теплообмена в мелкомасштабных периодических структурах. Дальнейшее развитие теории краевых и начально-краевых задач со скалярно-векторными граничными условиями для эллиптических и параболических систем уравнений и уравнений Навье-Стокса. Асимптотический анализ систем дифференциальных уравнений в областях тонкой трубчатой структуры. Дальнейшее развитие метода частичной декомпозиции области и его обобщение на случай «мультиструктур» - массивных областей, соединенных трубчатыми структурами; разработка и обоснование новых условий сопряжения между моделями разной размерности. Асимптотическое исследование предельных граничных условий течения в канале с упругой слоистой стенкой в случае различных соотношений плотности и жесткости слоев (модель взаимодействия кровотока со стенкой сосуда).