Алгебраические и аналитические методы теории нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и их приложения к исследованию конечномерных динамических систем

Основной целью настоящего проекта является исследование интегрируемости и разрешимости широких классов нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и систем. Планируется получить как теоретические результаты, применимые для всего класса уравнений, так и практические, которые относятся к наиболее важным с прикладной точки представителям рассматриваемых классов. Большое внимание будет уделено разработке новых методов и подходов. В частности, будут разрабатываться методы построения алгебраических предельных циклов и неавтономных инвариантов. Планируется получить необходимые и достаточные условия существования инвариантов и первых интегралов резонансных на бесконечности систем Льенара и их обобщений, называемым системами Левинсона – Смита. Эти системы используются в теории колебаний, при моделировании процессов реакции-конвекции-диффузии и в некоторых других прикладных задачах. Первые интегралы будут рассматриваться в классе функций Дарбу и Лиувилля. Также планируется исследовать существование первых интегралов, лежащих в расширениях Пикара – Вессио поля рациональных функций. Отметим, что во многих научных работах, посвященных проблемам разрешимости и интегрируемости, приводится вывод достаточных условий интегрируемости. Также большой интерес представляет задача поиска и классификации неавтономных алгебраических инвариантов и неавтономных первых интегралов. В рамках настоящего проекта планируется разработать метод построения неавтономных алгебраических инвариантов, применимый к неавтономным двумерным дифференциальным системам. В рамках проекта планируется рассмотреть ряд задач эквивалентности для семейства неавтономных кубических дифференциальных систем на плоскости и его интегрируемых линейных и нелинейных представителей, где в качестве преобразований эквивалентности используются обобщенные нелокальные преобразования. Будут выделены физически значимые примеры уравнений из построенных классов эквивалентности. Предполагается рассмотреть приложения данных результатов для построения двумерных римановых метрик с интегрируемыми и суперинтегрируемыми геодезическими потоками. Также с помощью данного подходя планируется найти новые примеры интегрируемых неавтономных одномерных гамильтоновых систем.