Аналитические и численные методы построения решений нелинейных математических моделей

Объектами исследования являются: обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, кубические относительно первой производной, обобщенное уравнение Кавахары, функции Бесселя, гипергеометрические функции, эллиптические функции Вейерштрасса, q-разностные алгебраические уравнения, ряды Дюлака, особая точка линейной системы, квадратичные операторы на алгебрах Ли su(2) и su(1,1). Целями работы являются: классификация обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, имеющих дробно-квадратичные первые интегралы, построение и анализ точных мероморфных решений обобщенного уравнения Кавахары в переменных бегущей волны, нахождение и изучение новых примеров двумерных римановых метрик, геодезические которых интегрируются в явном виде, получение оценки степени следующего члена ряда Дюлака, расчет и анализ периодических орбит около коллинеарных точек либрации в круговой ограниченной задаче трех тел, исследование существования осциллирующих туннельных эффектов для квадратичных операторов на алгебрах Ли su(2) и su(1,1). Методы проведения работы: асимптотический анализ, теория интегрируемости Дарбу, метод рядов Пюизе, преобразование Лежандра, асимптотический анализ, степенная геометрия, методы аналитической теории дифференциальных уравнений. Результаты работы:разработан метод построения обобщенно-рациональных первых интегралов с зависящим от времени экспоненциальным множителем, найдены критерии метризуемости различных уравнений математической физики, в том числе тех, которым удовлетворяют некоторые специальные функции, получены оценки степени следующего члена ряда Дюлака, проведен расчет и исследование периодических квазигоризонтальных орбит около точек либрации L1, L2 в системе Земля-Луна, установлены ограничения на параметры системы, при которых возникает туннельный эффект в квантово-механических системах, гамильтониан которых задан на алгебре Ли su(2).