Численные методы решения многопараметрических обратных задач теории распространения сейсмических волн

Сейсмические волны несут значительный объём информации, обеспечивающей поиск и разведку полезных ископаемых, изучение глубинного строения Земли, проведение инженерных геофизических работ и ряда других направлений научной и производственной деятельности. В данном проекте основное внимание будет уделено решению задачи определения упругих параметров геологических объектов по сейсмическим наблюдениям, то есть решению многопараметрической обратной динамической задачи теории распространения волн. Эта задача уже в течение довольно длительного времени находится в центре внимания широкого круга специалистов как академических, так и промышленных организаций, как в России, так и за рубежом. Основное внимание при этом уделяется восстановлению скоростной модели изучаемой среды, причём зачастую эти рассмотрения ограничиваются скалярным волновым уравнением, предусматривающим вовлечение только одного типа волн, как правило продольных. Однако сейсмические волновые процессы по своей физической природе содержат по крайней мере два типа волн – продольные и поперечные. Неотъемлемой чертой волновых процессов в реальных геологических средах является поглощение упругой энергии, неразрывно связанное с наличием зон повышенной трещиноватости, флюидонасыщенности, растепления вечной мерзлоты, скоплений мелкомасштабных (субсейсмических) неоднородностей и ряда других особенностей. Таким образом, обратная задача распространения упругих волн в изотропных идеально-упругих средах состоит в определении трёх параметров – скоростей распространения продольных и поперечных волн и плотности среды. Необходимость учитывать наличие поглощения добавляет ещё две характеристики – добротности продольных и поперечных волн, а рассмотрение трансверсально изотропных сред ведёт к добавлению ещё трёх параметров. В настоящий момент мы считаем, что важнейшими областями применения результатов, которые будут получены в ходе выполнения проекта станут мониторинг процессов растепления вечной мерзлоты, таяния газогидратов и развитие трещиноватости в результате накопления напряжений в среде. Например, одной из характерных особенностей таяния является заметное повышение поглощения сейсмических, в первую очередь поперечных, волн, что обуславливает заметное уменьшение добротности среды и, следовательно, ведёт к изменчивости волновых полей. Именно такая изменчивость и может, на наш взгляд, быть положена в основу сейсмического мониторинга в вязкоупругих средах. Образование систем трещин, обусловленных развитием напряжённого состояния среды ведёт к образованию зон трансверсальной анизотропии, что также приводит к изменчивости наблюдаемых упругих волновых полей. Мы будем рассматривать обратную задачу теории распространения волн как нелинейное операторное уравнения T(c)=M относительно набора искомых параметров c. Здесь T есть нелинейный оператор, задающий правило, связывающее модель среды и зарегистрированные сейсмические данные М. Различные геометрии системы возбуждения и регистрации соответствуют различным сейсмическим методам, начиная от скважинных исследований вплоть до изучения глобального строения Земли. Оператор Т определяется математической моделью теории распространения сейсмических волн, используемой для описания конкретного волнового процесса. В наших рассмотрениях он будет определяться как значение решения системы динамических уравнений теории упругости на заданной системе наблюдения при заданном наборе источников. При этом предполагается, что и положение источников, и форма зондирующего сигнала в них известны, а определению подлежат коэффициенты системы уравнений в частных производных, причём не всегда эти коэффициенты ищутся во всём пространстве. В ходе выполнения проекта будет рассматриваться и их поиск в некоторых подобластях трёхмерного пространства, в частности в верхней его части, примыкающей к свободной поверхности, в зонах растепления вечной мерзлоты и скоплений газогидратов. На этом пути мы приходим к необходимости решения нелинейного операторного уравнения, для чего будет использоваться нелинейный метод наименьших квадратов с привлечением итерационных методов Ньютонова типа для отыскания точки минимума соответствующего целевого функционала. Как известно, для успешного применения таких методов необходимо уметь обращать производную Фреше исходного нелинейного оператора по искомым параметрам. Как правило, эта производная задаётся компактным оператором, поэтому вычисление её обратного при реализации метода Ньютона-Канторовича требует применения регуляризующей процедуры. Накопленный нами здесь опыт показывает эффективность использования в качестве такой регуляризации усечения сингулярного разложения производной Фреше. Таким образом, в настоящее время для выполнения проекта мы планируем проведение следующих исследований: 1. Описание области определения и области значений оператора Т.; 2. Выбор функциональных пространств, обеспечивающих регулярность оператора Т для этих областей определения и значений, в первую очередь непрерывность и дифференцируемость по основным упругим параметрам; 3. Построение производной Фреше и изучение её регулярности; 4. Построение SVD для производной Фреше применительно к основным моделям теории распространения сейсмических волн: изотропная идеальная упругая среда, изотропная среда с поглощением, трансверсально-анизотропные среды; 5. Применение полученного SVD для анализа связанности упругих параметров, то есть изучения влияния возмущения параметров друг на друга и выработки рекомендаций по оптимальному выбору параметров для описания среды. 6. Определение влияния точности данных и точности аппроксимации получаемых представлений для производной Фреше на корректное разделение возмущений различных параметров (скоростей продольных и поперечных волн, их добротности, плотности, параметров Томсена для трансверсально изотропных сред и др.); 7. Сравнительный анализ эффективности применения различных методов численного моделирования процессов распространения сейсмических волн во временной и в частотной области (двумерная и трёхмерная среда); 8. Численное моделирование процесса растепления вечной мерзлоты в целях получения реалистичных вязкоупругих моделей геологических сред.