Разработка и исследование численных методов решения обратных задач теории распростанения волн на основе современных алгоритмов оптимизации

Особую сложность и интерес представляют собой обратные задачи теории распространения волн, когда нужно восстановить волновое поле или параметры среды распространения по данным измерений. Подобного рода задачи возникают в вычислительной гидроакустике, тропосферном распространении радиоволн, геофизике, оптике и квантовой механике. Несмотря на различную природу происходящих в указанных областях физических явлений, описываемые их математические модели являются в известной степени универсальными. Данное исследование направлено на повышение эффективности численных методов решения обратных задач теории распространения волн в неоднородных неограниченных областях. Основное внимание в данном исследовании планируется уделить задаче распространения радиоволн вблизи поверхности Земли и задаче распространения акустических волн в неоднородной подводной среде. Одна из основных задач операторов беспроводной связи - обеспечить покрытие заданной области при минимальных затратах с учётом санитарных и других ограничений. Данная задача наиболее полно может быть сформулирована как обратная задача для волнового уравнения. Ещё одна актуальная проблема - мониторинг коэффициента преломления тропосферы в реальном времени. Учитывая чрезвычайную сложность его непосредственного измерения, наиболее разумным вариантом является его опосредованная оценка через другие измерения, что также является обратной задачей для волнового уравнения. К обратным задачам вычислительной гидроакустики относится восстановление внутренней структуры океана по данным акустического зондирования огромных пространственных областей, поиск источников излучения, оценка шумов мирового океана и множество других задач. Наблюдается все разнообразие эффектов распространения волн, таких как интерференция, дифракция, рефракция, рассеяние, множественное переотражение и т. д. Отличительной особенностью также является огромный размер пространственный области моделирования по сравнению с длиной волны. Часто указанные задачи необходимо решать в реальном (или близком к реальному) масштабе времени. Все это создаёт достаточно жёсткие требования к производительности численных методов. Существующие численные методы решения указанного класса задач обладают рядом существенных недостатков, которые в полной мере проявляются при попытке их реализации в составе сложных программных комплексов. В основном это касается их недостаточной производительности и наличию множества искусственных расчётных параметров, которые выбираются вручную. Кроме того, существующие методы не позволяют в полной мере производить слияние данных измерений из различных источников и не учитывают многие важные физические процессы и явления. В данном исследовании предлагается разработать новые численные методы решения обратных задач для трёхмерного уравнения Гельмгольца на основе современных методов стохастической оптимизации. Планируется использовать теорию псевдодифференциальных и псевдоразностных операторов, дискретный дисперсионный анализ для получения аналитических зависимостей между параметрами источников излучения, данными измерений, параметрами численной аппроксимации, параметрами среды и требуемой точностью вычислений. Затем указанные зависимости используется для строгой формулировки обратной задачи определения искомых параметров как задачи оптимизации некоторой функции. Учитывая сложность таких задач, для их решения предлагается использовать стохастические методы оптимизации. Особое внимание будет уделено автоматизации разрабатываемых численных методов для их использования в прикладных программных комплексах. Следует отметить, что применение стохастических методов для решения обратных задач является принципиально новым научным направлением. Таким образом, полученные результаты могут в дальнейшем быть обобщены для решения других задач, описываемых дифференциальными уравнениями.