Методы численного анализа и решение задач вычислительной математики на современных вычислительных системах

Объектом исследования и разработки в данном проекте являются алгоритмы численного решения задач математической физики, возникающих при решении современных задач науки и техники. Глобальной целью исследования является разработка и применение новых методов численного решения указанных задач, адекватных современному уровню развития соответствующих знаний и потребностей. Целью является разработка и развитие численных алгоритмов и методов численного моделирования электромагнитных полей, распространения тепла, термомеханических явлений в твердых телах, газодинамических и магнитогидродинамических процессов и многих других явлений. Все разработанные алгоритмы предполагается довести до программной реализации и их апробации на примере решения конкретных прикладных задач. Более подробно цель работы раскрывается в целях составляющих частей работы. На период 2025-2027 гг. 1. Разработка средств численного моделирования МГД свойств высокотемпературной плазмы в установках типа токамак и в других системах с магнитным удержанием. 2. Построение новых классов математических моделей, описывающих процессы в открытых нелинейных далеких от равновесия системах, численное и аналитическое исследование построенных моделей и разработка методов выделения в них параметров порядка. 3. Разработка алгоритмов численного решения осесимметричных контактных задач на основе mortar-метода, их реализация в виде программного комплекса для решения мультиконтактных задач механики деформируемого твердого тела с учетом различных неупругих эффектов: пластичности, ползучести, растрескивания и других. Разработка численных алгоритмов на основе метода декомпозиции области для решения многомерных связанных задач термомеханики с учетом механического и теплового контакта взаимодействующих тел для различных условий на контактирующих поверхностях. Разработка и применение модификаций метода Лагранжа с независимой контактной поверхностью для численного решения контактных термомеханических задач. Разработка численных алгоритмов для решения динамических задач высокоскоростного термомеханического контактного взаимодействия тел с учетом образования больших пластических деформаций. Разработка численных алгоритмов для оценки плотности дефектов выращенных монокристаллов на основе анализа их напряженно-деформированного состояния. 4. Разработка и построение методов численного решения новых задач химической кинетики, в которых учитывается нелинейность в виде «разрывная правая часть». Конечной целью работы видится программный комплекс, способный решать задачи, в которых есть указанная особенность, и делать это эффективно, а именно — выделять точку (или поверхность), в которой сконцентрирована упомянутая особенность. Ожидается, что это откроет возможность эффективного решения новых и актуальных задач химической кинетики. 5. Развитие численных алгоритмов и теории метода опорных операторов (МОО) применительно к моделированию эволюции электромагнитных полей и процессов фильтрации в задачах многофазной многокомпонентной флюидодинамики в пористой среде. 6. Разработка математических моделей течений газа в астрофизических условиях, в частности в окрестности компактных объектов, в аккреционных дисках, в струйных выбросах. Для достижения этой цели необходимо развить имеющиеся и развить новые алгоритмы решения задач газовой динамики в различных пространственных и физических постановках. Модели и соответствующие им алгоритмы могут быть ориентированы как на уравнения динамики совершенного сжимаемого газа, так и на уравнения магнитной гидродинамики, в том числе с учетом излучения и частичной ионизации газа. 7. Исследование методами математического моделирования неустойчивости волн Россби (Rossby wave instability), возникающей в сдвиговом течении аккреционных дисков, в трехмерной постановке. Обработка результатов наблюдений экзопланет при помощи Фурье-анализа и вейвлет-анализа. Уточнение масс планет, звезды и параметров аккреционноого диска, массы, плотности и температуры. Уточнение -модели диска. Построение газодинамической модели аккреции на нейтронную звезду. Разработка вычислительной модели расчета нуклеосинтеза в двойных системах, вторая компонента в которых компактная нейтронная звезда. Разработка численной модели распространения джетов в лабораторных и астрофизических условиях с начальной конфигурацией, самосогласовано описываемой точным решением уравнения Грэда-Шафранова. Моделирование механизма образования крупномасштабной конвекции благодаря нейтринному излучению во взрывающемся ядре массивной сверхновой. 8. Развитие высокоточных бикомпактных схем применительно к численному решению неконсервативных гиперболических систем. Разработка и апробация комплексов программ, реализующих построенные схемы в двумерном и трехмерном случаях. 9. Численные методы решения уравнений переноса излучения: развитие и исследование методов высокого порядка аппроксимации для решения уравнения переноса на регулярных и неструктурированных сетках. 10. Регуляризованные уравнения гидродинамики и разработка программных кодов для внедрения в открытые CFD-пакеты: совершенствование модели регуляризованных уравнений гидродинамики, разработка соответствующих программных кодов и их внедрение в открытые CFD-пакеты, доступные для широкого круга пользователей. 11. Разработка и исследование методов генерации искусственных турбулентных полей: метод генерации и оценка свойств получаемых искусственных турбулентных полей скорости с заданными свойствами. Разработка метода моделирования формирования акустических волн, возникающих при взаимодействии искусственно сформированного турбулентного следа с элементами конструкций реальных летательных аппаратов. 12. Исследование линейных свойств численных схем на неравномерных и неструктурированных сетках: анализ свойств численных схем, предназначенных для решения задач газовой динамики, с помощью модельных линейных постановок. 13. Разработка вычислительных основ моделирования нелинейных процессов взаимодействия электромагнитного поля с веществом: математический аппарата моделирования динамики взаимодействия электромагнитного поля с материальными средами, составляющими важные компоненты технических систем, применяющихся в высокотехнологичных отраслях промышленности. Основу аппарата моделирования составят новые многомасштабные подходы на основе методов механики сплошных сред и методов частиц. На 2025 г. 1. Развитие методов численного моделирования МГД свойств плазмы в токамаках на структурированных сетках, адаптированных к вложенным магнитным поверхностям. Разработка вычислительных кодов, использующих неструктурные и гибридные сетки для расчетов МГД равновесия и устойчивости плазмы в удерживающем магнитном поле произвольной топологии. 2. Разработка новых подходов в теории самоорганизации, применимых для описания социально-экономических и социально-технологических систем. Исследование новых типов неустойчивости, возникающих в системах с запаздыванием, а также периодически нарушаемого равновесия и динамической устойчивости, характерных для самоорганизованно - критических систем. 3. Моделирование напряженно-деформированного состояния участка тепловыделяющего элемента с учетом контактного взаимодействия таблеток друг с другом и оболочкой, деформаций ползучести и растрескивания. Разработка численного алгоритма на основе метода декомпозиции области для расчета связанной трехмерной задачи определения термомеханического состояния участка тепловыделяющего элемента с учетом растрескивания топливных таблеток Применение модифицированного метода множителей Лагранжа с независимой контактной границей к решению контактных задач механики, в частности, к моделированию топливных таблеток в твэлах. 4. Теоретическое построение численного метода интегрирования жёстких систем ОДУ, имеющих особенность типа «разрывная функция правой части». 5. Обьектом изучения являются методы исследования сходимости итерационных процессов, применяемых к неявным полносью консервативным разностным схемам трехмерной магнитной гидродинамики с раздельным и комбинированным решением групп разностных уравнений, которые разбиваются по физическим процессам. 6. Развитие численных алгоритмов решения задач газовой динамики с учетом гравитационных, магнитных, радиационных эффектов и их применение для моделирования течений плазмы в задачах астрофизики. Развитие гибридного метода на основе разрывного метода Галеркина и характеристических свойств системы уравнений газовой динамики. Моделирование истечения плазмы с поверхности звезды-донора в двойной звездной системе и образования наклонного аккреционного диска. 7. Моделирование неустойчивости волн Россби в трехмерных аккреционных дисках в рамках системы уравнений идеальной газовой динамики, анализ результатов, сравнение новых результатов с ранее проведённым двумерным моделированием. Разработка вычислительных алгоритмов и реализация в виде комплекса программ для интегрирования трёхмерных уравнений магнитной гидродинамики в рамках решения задачи об эволюции планет в протопланетных дисках. Численное моделирование распространения джета в астрофизических условиях, выявление структуры головной ударной волны и динамики ее распространения через окружающий газ. Таким образом, появится проверяемое предсказание магнитного поля и вращения джетов молодых звезд и их головных ударных волн, также известных как объекты Хербига-Харо. 8. Обобщение бикомпактных схем на одномерные неконсервативные гиперболические системы. 9. Численные методы решения уравнений переноса излучения: тестирование бикомпактных схем решения уравнения переноса излучения на декартовых сетках и развитие проекционно-характеристического метода решения уравнения переноса третьего порядка аппроксимации на неструктурированных тетраэдальных сетках с представлением коэффициента поглощения в ячейках. 10. Регуляризованные уравнения гидродинамики и разработка программных кодов для внедрения в открытые CFD-пакеты: разработка и апробация новых моделей гидродинамики, построенных на основе методов регуляризации. 11. Разработка и исследование методов генерации искусственных турбулентных полей: генератор искусственных турбулентных полей на основе тензорной фильтрации белого шума. Разработка пробного кода для моделирования акустических волн, возникающих при взаимодействии искусственно сформированного турбулентного следа с простейшим крыловым профилем. 12. Исследование линейных свойств численных схем на неравномерных и неструктурированных сетках: анализ численных схем на неравномерных сетках на примере уравнения переноса. 13. Разработка вычислительных основ моделирования нелинейных процессов взаимодействия электромагнитного поля с веществом: для задачи генерации сильноточного релятивистского пучка проведение численного моделирования его взаимодействия со слоем газоразрядной плазмы и металлическими элементами конструкции генератора. Разработка новых методов вычислительной математики является актуальной научной задачей. Это определяется как потребностями современной науки и техники, так и возросшими возможностями современной вычислительной техники. 1. Разработка и исследование численных алгоритмов и вычислительных моделей процессов и явлений, протекающих под действием физических полей различной природы и во взаимодействии с ними, является фундаментальной научной проблемой, имеющей огромное прикладное значение. Исследование возможности управляемой термоядерной реакции очевидным образом является актуальной проблемой. 2. В настоящее время имеет место кризис описания сложных открытых нелинейных систем. Множество компьютерных расчетов, как правило, не дают общей картины изучаемых процессов. Поэтому на первый план выходят построение иерархии упрощенных моделей и сочетание численного и аналитического исследований. При этом ключевую роль начинают играть ведущие переменные (параметры порядка), которые показывают направление развития системы на больших характерных временах. Особого внимания заслуживает новое направления теории самоорганизации, связанное с управлением процессами самоорганизации. В его рамках осуществлен прорыв в теории искусственного интеллекта, связанный с построением нового поколения нейронных сетей. Такие системы открывают новые возможности для численного анализа многих явлений, задач распознавания образов и работы с большими данными. 3. Моделирование термомеханического состояния тепловыделяющего элемента (твэла) в тепловыделяющей сборке ядерного энергетического реактора является крайне актуальной задачей. Одной из главных частей твэла является столб из топливных таблеток (их количество обычно составляет несколько сотен), заключенный в цилиндрическую оболочку. В процессе эксплуатации твэла наблюдаются следующие эффекты: нагрев топливного столба до температуры порядка 1500 К, распухание и радиационное доспекание таблеток, радиационный рост оболочки, растрескивание и фрагментация таблеток, пластическое деформирование оболочки и многие другие. Ключевую роль играет контактное взаимодействие таблеток друг с другом и с оболочкой. Именно на участках контакта таблеток с оболочкой возникают концентраторы напряжений, которые нужно корректно учитывать при оценке долговечности конструкции. Время эксплуатации твэла, как правило, составляет несколько лет, за такой длительный промежуток времени в твэле образуются значительные деформации ползучести, вносящие ощутимый вклад в напряженно-деформированное состояние всей конструкции. Из-за геометрических размеров твэла и многочисленности физических явлений, которые нужно учитывать, полноценное моделирование с использованием стандартных математических пакетов является весьма затруднительным. В настоящее время существует ряд зарубежных специализированных пакетов, предназначенных для моделирования процессов, происходящих в твэле, однако существует настоятельная потребность в разработке отечественных программных комплексов. Решение связанных задач термомеханики, учитывающих взаимное влияние температурных полей и деформирования конструкции друг на друга, является важной научной проблемой и находит применение в различных областях. Например, при моделировании напряженно-деформированного состояния твэла конфигурация участков поверхностей тел, которые находятся в состоянии механического контакта, может значительно меняться в процессе эксплуатации. Возникновение или изменение зазора между телами существенно влияет на условие теплового контакта между рассматриваемыми поверхностями, а изменение температуры в свою очередь вызывает изменение поля перемещений. Для моделирования контактного взаимодействия можно использовать различные численные алгоритмы. Большой интерес представляет разработка алгоритмов на основе метода декомпозиции области (МДО), который позволяет свести решение одной глобальной задачи для системы контактирующих тел к решению ряда локальных задач в отдельных подобластях, которые (возможно) включают в себя участки нескольких тел. Одной из важнейших характеристик качества получаемых монокристаллов являются плотность и распределение дислокаций (линейных дефектов). Основной причиной образования и размножения дислокаций являются термические напряжения, которые возникают при выращивании монокристаллов из-за неоднородности распределения температуры. Поэтому задача прогнозирования плотности дислокаций в кристаллах является актуальной. Для прогнозирования плотности дислокаций, как правило, решается задача упругопластического деформирования с учетом особенностей условий выращивания кристалла, движения и размножения дислокаций. 4. Задачи химической кинетики представляют важный класс задач математической физики. Они встречаются при моделировании процессов горения углеводородных топлив и при моделировании многих других физико-химических явлений. Математически такие задачи описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Причём такие системы являются жёсткими, что требует разработки специальных методов их решения. Однако до сих пор в задачах химической кинетики широко не рассматривались модели, в которых присутствуют нелинейности вида «разрывная правая часть». При численном интегрировании необходимо учитывать подобные особенности. Однако все существующие методы интегрирования ОДУ построены в предположении, что функция правой части не имеет таких особенностей. Из-за этого классические методы не справляются с точным выделением особенности и могут порождать дополнительные погрешности. Даже небольшие погрешности могут привести к большим ошибкам в итоговом расчёте из-за жёсткости задачи. Поэтому разработка численных методов интегрирования жёстких систем ОДУ с разрывной правой частью является крайне актуальной. 5. В последние годы растет интерес к газовым гидратам как к потенциальному источнику углеводородов. Запасы углеводородного газа в гидратах оцениваются по-разному, но, согласно большинству работ, являются сравнимыми с запасами других источников углеводородов, вместе взятых, или превышают их. Данный вопрос является предметом активного изучения. Для эффективного освоения этих запасов необходимы технологии добычи, созданные на основе глубокого понимания гидродинамики пористых сред и физико-химических свойств газовых гидратов, что подчеркивает актуальность исследований в этих направлениях. Газогидратные залежи представляют собой слоистые пористые структуры, насыщенные гидратами, газом и водой. Достижение максимума добычи газа требует комплексного учета множества факторов, в том числе связанных с движением пластовых флюидов в процессе разработки месторождений. Для оптимизации методов добычи, обеспечения ее технической и экологической безопасности необходимо проводить компьютерное моделирование неизотермической многофазной фильтрации с учетом фазовых переходов, связанных с газовыми гидратами. Аппроксимация пластов со сложной литологией и геометрией производится с помощью нерегулярных сеток, дискретизация уравнений на которых выполняется на основе метода опорных операторов. При моделировании трехмерных процессов в задачах магнитной гидродинамики важным является вопрос сходимости итерационных процессов, применяемых к неявным разностным схемам, получаемым на основании МОО. 6. Актуальность проблемы определяется необходимостью интерпретации возрастающего количества астрофизических наблюдательных данных. При этом уровень разрешения наблюдений постоянно растет, становятся доступны к наблюдению (конечно, опосредованному, косвенному) все более тонкие структуры течений в астрофизических объектах. Эта особенность требует применения методов высокого порядка, позволяющих моделировать как общую характерную структуру течения, так и неустойчивые режимы течения, приводящие к редким или даже единичным событиям, которые могут быть зафиксированы на кривых блеска. Разработка методов моделирования течений газа, включая газодинамические и иные неустойчивости, требует разработки методов высокого порядка и аккуратного выделения и удаления численных артефактов приближенного решения. Эта задача является актуальной не только для задач астрофизики, но и для моделирования обтекания тел в атмосфере. 7. Аккреционные диски представляют собой объемные газовые распределения, которые вращаются вокруг центрального гравитирующего тела. Наблюдения говорят о формировании аккреционных дисков вокруг нейтронных звезд, черных дыр и молодых звезд. К ним относят объекты в двойных звёздных системах и протопланетные диски. Градиент угловой скорости в аккреционном диске формируется благодаря закону вращения Кеплера. Вещество, которое находится на произвольно низкой стационарной орбите, движется быстрее по сравнению с более удаленным от центра газом. Конфигурация течения вещества, определяемая таким законом вращения, оказывается чрезвычайно устойчивой с точки зрения аналитического рассмотрения и проведения численных экспериментов по турбулезации течения. Например, в однородном потоке отсутствуют экспоненциально растущие линейные возмущения. Тем не менее, астрономические наблюдения выявляют сложную природу течения в аккреционных дисках. Нестационарная эволюция течения в рассматриваемых аккреционных дисках предполагает интенсивное радиальное движение газа. Подобный процесс должен сопровождаться изменением момента импульса вещества. Усилия астрофизического научного сообщества направлены на объяснение механизмов переноса момента импульса в сдвиговом течении аккреционных дисков, среди которых магниторотационная неустойчивость, бароклинная неустойчивость, вертикальная сдвиговая неустойчивость и другие. Однако существуют подходы к объяснению причин перераспределения момента импульса в аккреционных дисках, которые изучены в меньшей степени. На сегодняшний день известно, что наличие экстремума распределения плотности и давления аккреционного диска делает течение неустойчивым. В соответствующей области максимума физических величин возможен экспоненциальный рост малых возмущений. Данное явление называют неустойчивостью волн Россби (Rossby wave instability). Из анализа существующих работ следует, что нелинейный этап развития RWI изучен слабо. Особенно в постановке задачи, которая учитывает трехмерную структуру аккреционного диска. Поэтому данный аспект проблемы должен быть рассмотрен подробнее. Актуальность исследования нуклеосинтеза в двойных системах объясняется необходимостью учета химического состава и изучения выхода элементов при развитии газодинамических моделей аккреции на нейтронную звезду. Численному моделированию джетов молодых звезд посвящено достаточно много работ, но почти во всех них начальные условия выбирались нефизичными - токи, генерирующие магнитное поле, обычно не были замкнутыми, отсутствовала зависимость конфигурации магнитного поля от поля скоростей и термодинамических характеристик плазмы. Актуальность нашего подхода заключается в использовании самосогласованной начальной конфигурации, проверенной на лабораторных джетах. Такое исследование позволит соединить теоретические подходы (аналитические и численные) с лабораторными экспериментами и астрономическими наблюдениями. 8. В последнее время повышается интерес к неконсервативным гиперболическим системам. Они содержат члены с первыми производными искомой функции, не представимые в дивергентной форме. Такие системы составляют основу многих математических моделей, например, в теории мелкой воды, многофазных течений, упругопластичности и др. Численные схемы высокого порядка точности, достаточно хорошо развитые применительно к гиперболическим системам законов сохранения, лишь в недавние годы стали получать обобщение на неконсервативные системы. Среди современных конечно-разностных схем мы выделяем класс бикомпактных схем. Их ключевой особенностью является минимальный шаблон, включающий не больше двух узлов по каждой пространственной переменной. Бикомпактные схемы углубляют преимущества классических компактных схем перед стандартными конечно-разностными схемами, обходясь меньшим шаблоном и демонстрируя лучшее спектральное разрешение. Однако в настоящий момент бикомпактные схемы разработаны лишь для гиперболических систем, представимых в консервативной форме. Имея в виду достоинства бикомпактных схем, желательно обобщить их на неконсервативные гиперболические системы. Практически значимым результатом этого станет возможность моделировать физические процессы, описываемые системами такого вида, с более высоким разрешением по сравнению со стандартными численными схемами. 9. Численные методы решения уравнений переноса излучения: актуальность исследования связана с реализацией возможности решать задачи защиты от проникающих излучений с помощью многогруппового нестационарного уравнения переноса на умеренно подробных регулярных и нерегулярных тетраэдральных сетках. В современной ситуации подобные численные методики не имеют надежной программной реализации и должного анализа устойчивости и сходимости. 10. Регуляризованные уравнения гидродинамики и разработка программных кодов для внедрения в открытые CFD-пакеты: актуальность связана с необходимостью разработки и внедрения перспективных для параллельных реализаций методов моделирования нестационарных процессов в механике жидкости и газа, включая задачи ламинарно-турбулентного перехода и расчета течений струй и газовых смесей, а также термогравитационных движений расплавов. В современной ситуации недостаточно робастных и устойчивых математических подходов к такому моделированию. 11. Разработка и исследование методов генерации искусственных турбулентных полей: актуальность исследования обусловлена необходимостью использования искусственно сгенерированных турбулентных полей скорости в расчетах, связанных с моделированием турбулентных течений вокруг летательных аппаратов и элементов их конструкций. В настоящее время используемые при моделировании искусственно сгенерированные турбулентные поля часто оказываются не связанными с конкретными режимами обтекания конструкций реальных летательных аппаратов, что ухудшает практическую ценность таких расчетов. 12. Исследование линейных свойств численных схем на неравномерных и неструктурированных сетках: актуальность исследования связана с разработкой новых классов численных методов на сетках различного типа и необходимостью теоретического и численного анализа основных свойств таких схем (аппроксимация, точность, устойчивость, монотонность, консервативность) на известных линейных модельных задачах. Несмотря на обилие исследований в данной области имеются еще нерешенные проблемы в вопросах устойчивости и сходимости отдельных классов численных схем повышенного порядка точности. 13. Разработка вычислительных основ для моделирования нелинейных процессов взаимодействия электромагнитного поля с веществом: актуальность исследования связана с необходимостью разработки многофакторных и многомасштабных математических моделей взаимодействия электромагнитного поля с веществом и высокоточных численных алгоритмов их реализации. В современной ситуации предъявляются повышенные требования к моделям и численным методам их реализации, связанные с учетом различных механизмов рассеяния энергии электромагнитного поля в среде и проблемой многомасштабности практических задач.