Математическое моделирование локальных дефектов тонких включений в двумерных упругих телах при наличии отслоений

Проект направлен на изучение проблемы деформирования двумерных упругих тел, содержащих тонкие включения с дефектом при наличии отслоения. Актуальность темы исследования обусловлена как возможностью применения полученных результатов в моделировании конструкций из волокнисто-композитных и других неоднородных материалов, а также с точки зрения расширения класса исследованных задач с условиями сопряжения и нелинейными граничными условиями. Тонкое включение моделируется как одномерный объект в области, которую занимает двумерное упругое тело, и таким образом рассматривается математическая модель о взаимодействии объектов разных размерностей. Формулируется вариационная задача минимизации функционала энергии, при этом дефект включения описывается отдельным слагаемым с положительным параметром повреждаемости. Данный параметр характеризует степень повреждения армирующего волокна и его предельные значения соответствуют либо полному излому тонкого включения либо отсутствию повреждения. Кроме того, дополнительную сложность модели представляет наличие трещины, возникающей в результате отслаивания тонкого включения от окружающей матрицы. Наличие отслаивающегося волокна приводит к постановке задачи в негладкой области с разрезом, на берегах которого, как на части границы, задаются условия типа неравенств. Данные граничные условия возникают из физического требования непроникания берегов трещины друг в друга, а вследствие их нелинейности становится невозможным применение классических методов исследования поставленных задач. Для исследования данного класса моделей эффективным оказался метод вариационных неравенств. В нелинейных задачах теории трещин вариационное неравенство является эквивалентной постановкой задачи минимизации потенциальной энергии системы и позволяет исследовать корректность модельных задач, а также выписать полную систему уравнений, граничных условий и условий сопряжения. Учет параметра повреждаемости в постановке задачи приводит к наличию дополнительных условий в точке, соответствующей расположению дефекта включения. Эти условия можно рассматривать как условия сопряжения и точный их вид важен как для дифференциальной постановки задачи, так и для разработки алгоритма численного решения. Таким образом, класс задач об отслоившихся включениях с дефектами представляет собой комплексную проблему сопряженных моделей. На сегодняшний день имеются некоторые результаты, касающиеся теоретического исследования подобных задач о тонких включениях с дефектом, при этом недостаточно изученным остается вопрос об их численном решении. Особый вид вариационных неравенств и ограничения на решения не позволяют использовать традиционные пакеты программ для их численного решения. Проблема, в рамках которой предполагается развивать проект, связана как с теоретическим исследованием новых задач о тонких отслоившихся включениях с дефектами в упругом теле, так и разработкой математических подходов для численного решения.