Итоговый отчет по теме "Математическое моделирование свойств наносистем и уравнения состояния твердотельных фрактальных структур" (2013-2015 гг.)

Цель: развитие математических методов для описания теплофизических свойств твердых тел с фрактальной структурой; разработка математических моделей колебательных систем, теоретических моделей капиллярных явлений 2-го рода; исследование и развитие математических моделей размерных эффектов. Выведено дифференциальное уравнение для поверхностного натяжения сферического нанопузырька. Предложено численное решение уравнения Рэлея - Плессета, описывающего динамику схлопывания нанопузырька, с учетом размерной зависимости поверхностного натяжения. Показано, что учет размерной зависимости поверхностного натяжения приводит к повышению скорости схлопывания пузырька, что заметно проявляется на конечной стадии схлопывания. Разработана математическая модель адсорбции атомов в плоских нанопорах, основанная на нелинейном уравнении движения атома. С помощью вычислительного эксперимента показано, что движение атомов в нанопорах имеет осциллирующий характер. Рассмотрена малая лежащая капля с учетом линейного натяжения на трехфазной границе в условиях термодинамического и механического равновесия. С помощью метода разделяющей поверхности Гиббса найдены формулы для поверхностного натяжения на границе раздела жидкость - пар, линейного натяжения и краевого угла смачивания. Показано, что поверхностное натяжение и краевой угол смачивания уменьшаются, а абсолютное значение линейного натяжения увеличивается с уменьшением радиуса кривизны поверхности. Сравнение теоретических расчетов с экспериментальными данными атомно-силовой микроскопии показывает удовлетворительное согласие и свидетельствует о том, что линейное натяжение должно быть отрицательным. На основе метода разделяющей поверхности Гиббса выведено дифференциальное уравнение, определяющее зависимость поверхностного натяжения пузырька в неполярной однокомпонентной жидкости от его радиуса. Получены точное и асимптотическое решения этого уравнения. Из расчетов следует, что поверхностное натяжение пузырька увеличивается с уменьшением радиуса. С учетом размерной зависимости поверхностного натяжения численно решено уравнение Рэлея - Плессета. Показано, что размерная зависимость поверхностного натяжения существенно сказывается на конечной стадии схлопывания пузырька и в целом ускоряет этот процесс. Рассмотрена статистика акустических фононов и безмассовых дираковских электронов в идеальном однослойном графене при низких температурах. Выявлено, что удельная теплоемкость идеального графена при постоянной площади и теплопроводность определяются в основном решеточным вкладом. На основе решения уравнения теплопроводности без учета радиационного теплообмена установлено, что уменьшение температуры нагретого графена должно происходить обратно пропорционально времени. Выведено качественно новое уравнение состояния фуллерита C₆₀. Проведена математическая обработка имеющихся в литературе экспериментальных данных по фазовым диаграммам фуллерита C₆₀. Разработан алгоритм численного расчета фазовой диаграммы фуллерита C₆₀. Развита модель Томаса - Ферми для многоэлектронного нейтрального атома при произвольной метрической размерности электронного облака. Показано, что электронное облако с пониженной размерностью должно располагаться в непосредственной близости от ядра атома. При метрической размерности электронного облака, равной 2, дифференциальное уравнение модели допускает решение в аналитическом виде, причем параметр экранирования в этом случае не зависит от заряда ядра атома. Проведен анализ существующих теоретических моделей уравнения состояния фуллеренов C₆₀ и С₇₀, а также фуллеритов C₆₀ и С₇₀. Свободная энергия записана в виде двух слагаемых, определяющих упругую часть взаимодействия при T = 0 и тепловой вклад атомов. Упругая часть (межмолекулярное парное взаимодействие) фуллеренов вычислена с помощью потенциала Ми - Леннарда - Джонса. Тепловой вклад определен в рамках теории Дебая. Найдены в аналитическом виде уравнение состояния, изотермический модуль объемного сжатия, термический коэффициент объемного расширения. Построены потенциальные кривые фуллеренов C₆₀ и С₇₀. Построены уравнения состояния фуллеритов C₆₀ и С₇₀, и рассчитаны изотермический модуль объемного сжатия и термический коэффициент объемного расширения в условиях высокого давления и температуры. Получены уравнение состояния твердого тела с использованием дробной производной Римана - Лиувилля, а также выражения для свободной энергии и модуля всестороннего сжатия. Полученное уравнение состояния предполагается использовать для прогнозирования термодинамических свойств веществ с фрактальной структурой. Выведены малопараметрическое уравнение состояния для твердого тела с фрактальной структурой, зависящее от двух параметров, достаточно хорошо описывающее фазовые диаграммы, и малопараметрическое уравнение состояния с дробной производной Римана - Лиувилля. Разработан алгоритм численного расчета термодинамических свойств с применением нового уравнения состояния твердого тела с фрактальной структурой, которое применяется для расчета фазовых диаграмм металлов с фрактальной структурой. Проанализированы различные способы идентификации параметров математических моделей нелинейных колебательных систем с учетом динамической силы трения. Проведена оптимизация конструкции стенда для исследования вязкоупругих свойств металлов и сплавов, и определены возможные модификации конструкции для обеспечения лучших метрологических характеристик стенда. Произведен расчет скорости звука в Al и Ta. Построены зависимости максимальной амплитуды акустических сигналов от амплитуды возбуждающего сигнала для Al, Cu, Ta, Ti и Zr. В математической среде MatLAB с использованием дополнительного пакета Simulink реализована математическая модель механической колебательной системы при наличии упругих соударений, которые описываются в рамках контактной теории Герца. Показано, что на общие колебания, задаваемые внешней силой, накладываются затухающие колебания с большей частотой, которые соответствуют упругим соударениям осциллятора. С помощью пакета расширений Wavelet Toolbox программы MatLAB проведен вейвлет-анализ численного решения нелинейного дифференциального уравнения движения механической колебательной системы и акустических сигналов, возникающих при упругих соударениях зонда с поверхностью твердого тела. Осуществлено вейвлет-преобразование возникающих при упругих соударениях зонда с поверхностью твердого тела акустических сигналов, позволяющее выявлять в частотной области мелкомасштабные детали, которые важны для интерпретации эксперимента.