Математическая физика сложных систем

Сформулирована и доказана обобщенная теорема вириала для газа взаимодействующих безмассовых электронов в графене и других дираковских материалах. Показана связь этой теоремы с масштабными преобразованиями. Исследованы различные реализации гиперболических метаповерхностей: массив графеновых нанолент, двумерный массив одноосных металлических наночастиц и черный фосфор. Доказана теорема существования слабого асимптотического решения для системы уравнений Эйлера на торе; доказательство проиллюстрировано численным решением той же системы разностных уравнений, но в дискретном времени – численным решением классической разностной схемы. Проведен сравнительный анализ эволюции сети в направлении увеличения количества полных подграфов размера три при условии сохранения степеней узлов, и показано, что при сохранении степени связности на узлах сеть распадается на плотные кластеры нетривиальным образом. Показано, что при плотности ниже порога перколяции вместо плотных и связных кластеров сеть начинает разбиваться на большое количество малых связных подграфов, причем процесс перестает быть ступенчатым. Детально исследованы спектральные свойства матрицы смежности сетей в равновесном состоянии, показано, что спектр ансамбля равновесных состояний имеет треугольный вид, свойственный, к примеру, безмасштабным сетям. Доказано, что при выполнении условия комбинированного резонанса одиночный электрон в микроловушке Пеннинга проявляет существенно-квантовые свойства. Показано, что, если рассматривать разностное уравнение как псевдодифференциальное и ввести соответствующий вейлевский гамильтониан, то можно построить простую геометрическую интерпретацию локальных асимптотик, точек поворота, правила Бора - Зоммерфельда и других базовых элементов квазиклассического приближения. Доказаны теоремы о локальной ВКБ-асимптотике решений разностных уравнений, правила согласования асимптотик в окрестности простой точки поворота, разобраны все возможные случаи различных типов точек поворота.