ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ПЕРИОДИЧЕСКИХ СРЕДАХ (заключительный)

1) Метрический граф представляет собой непрерывное (метрическое) пространство, состоящее из ребер (одномерных пространств), соединяющихся в вершинах графа. Оператор Лапласа действует на функциях, определенных вдоль каждого ребра графа и подчиненных специальным граничным условиям в вершинах, обеспечивающих самосопряженность оператора. Дифференциальные операторы на метрических графах, или, другими словами, квантовые графы, имеют многочисленные приложения в квантовой механике, химии, нанотехнологиях, теории волноводов и других областях естествознания. Квантовые графы используются при описании процесса распространения волн различной природы в окрестности графоподобной структуры, например, движения электронов в органических молекулах. Также квантовые графы могут выступать в роли моделей простых механических систем, например, для описания малых поперечных колебаний сетки из струн. Специфика, связанная с периодичностью графа, делает наши результаты особенно интересными в связи с описанием электрических свойств новых материалов. 2) Особый интерес к уравнению Буссинеска продиктован нестандартным поведением солитонных решений этого уравнения. Обычно солитоны в интегрируемых системах устойчивы и при их взаимодействии происходит только сдвиг фазы. Солитоны уравнения Буссинеска могут разрушаться под действием возмущения или, наоборот, образовывать сингулярность за конечное время. При этом само уравнение Буссинеска является обычным нелинейным интегрируемым обобщением волнового уравнения и имеет вполне определенный физический смысл. Так же как и уравнение Кортевега-де Фриза, уравнение Буссинеска имеет бесконечный набор инволютивных интегралов движения и к нему может быть применен метод обратной спектральной задачи. До настоящего времени не исследованы уравнения Дубровина для оператора Дирака на окружности. Напомним, что оператор Дирака является L-оператором для нелинейного уравнения Шредингера. Уравнения Дубровина описывают движение собственных значений вспомогательной краевой задачи для оператора Дирака при сдвиге потенциала. Эти собственные значения являются существенной частью данных обратной спектральной задачи. 3) Изучение турбулентных явлений в жидких и газообразных средах играет важнейшую роль в современной науке: от астрофизических феноменов (взрывы сверхновой) до предсказания локальных погодных аномалий и глобальных изменений климата. Это явление настолько сложное, что до сих пор не существует единых надёжных методов его исследования. В нашей работе мы комбинируем новые алгебраическиеметоды и методы математической физики для анализа данных явлений.