Решение задач управления сложными нелинейными системами

Осуществлена обширная программа подготовки и применения современного математического аппарата к изучению и решению актуальных проблем функционирования систем управления со сложными нелинейными звеньями, описываемыми дифференциальными уравнениями и включениями различных классов. Исследованы понятия почти периодической на бесконечности функции, получены некоторые спектральные условия почти периодичности на бесконечности для ограниченных решений дифференциальных включений с замкнутыми многозначными линейными операторами в банаховых пространствах. Получены приложения к вырожденным дифференциальным уравнениям и полулинейным дифференциальным включениям. Рассмотрена задача стабилизации решений уравнения теплопроводности. Разработана теория, позволяющая сделать качественные выводы о системах управления, описываемых с помощью как монотонных, так и немонотонных sweeping процессов Моро. Доказано, что любые процессы с почти периодическими монотонными правыми частями имеют глобально экспоненциально устойчивое почти периодическое решение. Исследовано, в какой степени такое глобально устойчивое решение сохраняется при немонотонных возмущениях систем управления. Разработан метод определения случайной негладкой интегральной направляющей функции для случайных дифференциальных включений и применения ее к изучению асимптотики их решений. Доказаны новые теоремы о существовании случайных периодических решений. Показано, как абстрактные результаты могут применяться для изучения систем случайной дифференциальной дополнительности, возникающих, в частности, из моделей математической биологии. Решена задача о периодических режимах систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями со случайными возмущениями, на основе сведения ее к исследованию соответствующего абстрактного бифуркационного уравнения. В терминах производных по мере выписана модель колебаний разрывной струны с особенностями как типа δ функций, порождаемых наличием произвольного числа упругих опор, сосредоточенных сил, так и с особенностями типа δ" взаимодействий, порождаемых разрывами у решений. Обоснован метод Фурье представления решения, найдено решение ряда задач граничного управления колебаниями такой струны. Для случая проекционных дифференциальных уравнений доказана единственность решения и исследована устойчивость решений по Уламу - Хайерсу. Полученные абстрактные результаты применены к исследованию модели рынка с ценовым регулированием. Получены новые результаты о существовании обобщенных решений дробного дифференциального включения при наличии импульсных воздействий с нелокальными начальными условиями. С помощью методов, основанных на слабой топологии и теории неподвижных точек многозначных отображений, получены результаты без предположения компактности на полугруппе и нелинейном члене, и в то же время не требуется предполагать условия типа монотонности или липшицевой регулярности. Рассмотрен дробный диффузионный процесс. Изучена нелокальная краевая задача для управляемой системы с обратной связью, описываемой вырожденным (соболевского типа) полулинейным дифференциальным включением в банаховом пространстве дробного порядка. Продемонстрировано, что многозначный интегральный оператор уплотняет относительно соответствующей меры некомпактности в функциональном пространстве. Это позволяет сформулировать общий принцип существования в терминах теории топологической степени. Представлены важные частные случаи, включая нелокальную задачу Коши, периодическую и антипериодическую краевые задачи. Исследована задача существования и аппроксимации интегральных решений полулинейных дифференциальных включений дробного порядка в сепарабельном банаховом пространстве. Проведено исследование начально-краевых задач, описывающих управления колебаниями системы струн, расположенной вдоль геометрического графа-звезда и помещенной во внешнюю среду с локализованными линейными и нелинейными особенностями. Решен ряд задач граничного управления колебаниями такого рода упругими системами, получено явное выражение для управляющих функций. Изучены задачи об асимптотическом поведении решений дифференциальных включений с каузальными мультиоператорами с помощью метода негладких интегральных направляющих потенциалов. Проведено исследование смешанной задачи для дифференциального уравнения первого порядка с инволюцией, которая записывается с помощью дифференциального оператора с инволюцией, действующего в пространстве суммируемых с квадратом модуля на конечном промежутке функций. Построенная для решения задачи группа позволяет ввести понятие слабого решения, а также описать слабые решения рассматриваемой задачи и служит для обоснования метода Фурье. Устанавливается почти периодичность ограниченных слабых решений. Исследованы спектральные свойства дифференциальных операторов с инволюцией при потенциале и при производной. На их основе получены асимптотические формулы для групп операторов, генератором которой являются изучаемые операторы.