ОтчетНелокальные задачи и их применение в математической физике и математической медицине (заключительный)

Исследованы существование, устойчивость и скорость распространения реакционно-диффузионных волн. Эти результаты применены для определения появления тромбоза в покоящейся плазме и в потоке, исследования распространения инфекции в ткани, различных режимов распространения инфекции в случае острой и хронической инфекции. Доказана справедливость гипотезы Като для эллиптических дифференциально-разностных операторов второго порядка с вырождением в ограниченной области.Получены результаты о глобальной разрешимости и корректности начально-краевых задач для нелинейных уравнений нечётного порядка, таких как уравнения Кавахары и Захарова - Кузнецова, а также об управляемости нелинейных уравнений нечётного порядка при различных условиях переопределения.Доказана абсолютная непрерывность неотрицательного спектра ряда операторов математической физики, включая оператор Шредингера на графах. Выражена абстрактная матрица рассеяния для пары операторов, один из которых самосопряжен, через функцию Вейля и характеристическую функцию второго оператора. Разрешимость задачи Дирихле в ограниченной области для уравнения, содержащего под знаком оператора Лапласа члены со сжатиями и сдвигами независимой переменной изучена в зависимости от коэффициентов при этих членах. Получены условия однозначной разрешимости в пространствах Соболева, а также продемонстрирован эффект появления бесконечномерного многообразия решений. Для эллиптических уравнений с нелокальным потенциалом построено ядро Пуассона, получено интегральное представление решения задачи Дирихле в полуплоскости. Установлены условия фредгольмовой разрешимости граничных задач для волнового уравнения на конечном цилиндре с граничными данными на всей границе; описаны показатели гладкости s пространств Соболева Hs, для которых являются фредгольмовыми метаплектические операторы, действующие в Rn; построен алгебраический индекс эллиптических операторов, ассоциированных с группами квантованных канонических преобразований, на компактном многообразии, а также доказано его равенство фредгольмову индексу. Получены формулы следов для функций от нормальных операторов и функций от операторов Винера – Хопфа. Получено описание максимального класса функций, при которых имеют место оценки липшицева типа для возмущений относительно ограниченными операторами. С использованием неэйлеровых функционалов получены мультивариационные формулировки новых эволюционнных задач, исследована взаимосвязь их генераторов симметрий и построены соответствующие классические и неклассические интегральные инварианты. Получена версия леммы Зарембы - Хопфа - Олейник о граничной точке для общих эллиптических и параболических уравнений в дивергентной форме при оптимальных (близких к необходимым) ограничениях на коэффициенты уравнений и границы областей. Получены формулы аналитического продолжения некоторых классов гипергеометрических функций многих переменных, включая логарифмический случай. Эти результаты использованы при построении конформного и гармонического отображений сложных областей. Разработаны эффективные аналитико-численные методы решения краевых задач в сложных областях с применением этих результатов к проблемам механики и астрофизики. Получена система дифференциальных уравнений, соответствующая градиентному методу сопряженных априорных распределений. Доказаны теоремы о структуре аттрактора и об асимптотическом поведении решений. Аналогичные результаты получены при наличии выбросов в наблюдаемых данных, соответствуют возмущению изначальной системы дифференциальных уравнений.