Теоретические и численные методы решения дифференциальных и разностных уравнений

В рамках настоящего проекта планируется проведение исследований по трем основным направлениям: задачи теории уравнений с частными производными; задачи теории дифференциально-разностных уравнений; задачи оптимального управления и идентификации. Перечислим лишь некоторые из задач, которые будут рассмотрены:1. Задачи теории уравнений с частными производными. Продолжить исследования свойств изоморфизма для классов квазиэл-липтических операторов. Продолжить изучение свойств нетеровости краевых задач для квазиэллиптических уравнений и систем. Получить достаточные условия разрешимости краевых задач в соболевских пространствах со степенными весами. Установить необходимые условия разрешимости в соболевских пространствах некоторых классов краевых задач для эллиптических систем в полупространстве. Для решения некоторых эллиптических краевых задач планируется построить ряд теории возмущений по липшицевому возмущению границы. Ошибку приближения отрезком этого ряда предполагается оценить через полунорму возмущения в однородном пространстве Слободецкого. Планируется доказать, что разность между конформной емкостью полосообразного конденсатора и интегралом Альфорса его внутренней липшицевой аппроксимации сравнима с суммой квадратов полунорм функций, представляющих аппроксимацию, в весовом пространстве Соболева-Слободецкого. Планируется провести исследования по проблеме угловой производной для конформных отображений.2. Задачи теории дифференциально-разностных уравнений. Получить достаточные условия асимптотической устойчивости классов си-стем дифференциально-разностных уравнений. Установить оценки решений дифференциально-разностных уравнений. Изучить влияния возмущений на асимптотические свойства решений.Исследовать различные биологические и физические модели, которые описываются дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом. В частности, будут рассмотрены следующие модели: модели различных заболеваний; модели биохимических реакций; модели миграции перелетных птиц; модели динамики электрического тока и др. Для данных моделей будут доказаны теоремы о разрешимости «в целом» и проведены исследования устойчивости решений. Будут указаны условия устойчивости и неустойчивости решений. 3. Задачи оптимального управления и идентификации. Будет разработан общий метод решения задачи минимизации расхода ресурса, включающий как вырожденное так и нормальное решения задачи. Будет исследована зависимость расхода ресурса: от заданного времени перевода системы в требуемое конечное состояние; от структуры и параметров управляемого объекта. Буден разработан способ задания начального приближения, существенно уменьшающий число необходимых итераций. Планируется разработать численный метод решения задачи оптимального быстродействия для динамических объектов, описываемых системами нелинейных дифференциальных уравнений с фазовыми ограничениями.