Эволюция особенностей и разрушение решений нелинейных нестационарных уравнений математической физики

Изучению вопросов существования , единственности и свойствам гладкости для решений квазилинейных параболических уравнений с нестепенными нелинейностями посвящено большое количество работ. Однако исследование глобальных свойств решений указанных задач находится в начальной стадии. Предполагается получить точные оценки скорости стабилизации для вырождающихся параболических уравнений с нестепенными нелинейностями. Предполагается исследовать начально-краевую задачу для нелинейного параболического уравнения с поглощением при наличии нелинейного условия памяти в граничном условии. Будут найдены условия на нелинейную память при которых решения задачи разрушаются за конечное время и условия на поглощение, гарантирующее существование глобальных решений для любых начальных данных. Предполагается рассмотреть оценки Шаудера для уравнений соболевского типа, получить результаты о критических показателях для нелинейных уравнений соболевского типа со степенной и градиентными нелинейностями. С этой целью мы должны получить равенства типа третьей формулы Грина, а затем изучить их свойства в пространствах Гельдера с весом. После чего мы получим оценки типа Шаудера для соболевских операторов. Методом нелинейной емкости С. И. Похожаева будут получены критические показатели <<локальная разрешимость vs мгновенное разрушение>> и <<локальная разрешимость vs отсутствие глобальных во времени решений>>. При этом мы рассмотрим модельные нелинейные уравнения теории полупроводников, магнетиков и плазмы. В направлении моделирования, исследования общей теории и разработки методов приближенного вычисления задач типа транспортных потоков ставятся следующие цели. Для автомобильных потоков, первой важной задачей является построение моделей типа фазового перехода для описания самоорганизации потока, как при подходе к внутренней границе так и внутри однородного потока.Следует особо отметить что классические однофазные модели не содержат в себе механизмов которые позволили бы достоверно описать наблюдаемые на практике спонтанно возникающие особенности. Построение новых, более сложных и точных моделей типа Ава-Раскля-Ченга включает в себя выработку адекватного понятия допустимости решений, учитывая что на внутренней границе необходимо подобрать специфические, в рамках каждой модели, неклассические разрывы и записать соответствующие им энтропийные неравенства типа Кружкова. Второй задачей является систематическое описание условий допустимости на мобильных особенностях типа внутренней границы, соответствующих подвижным препятствиям типа фуры на шоссе или спонтанно возникающим линиям раздела при эвакуации толпы через два или несколько различных выходов. Что касается динамики эвакуации толпы,ставится задача разрешимости популярной модели Хьюджеса в одномерной постановке с особенностью типа водораздела. Отметим полное отсутствие в литературе результатов допускающих неклассические разрывы на водоразделе, в связи с чем исследованы пока только самые тривиальные конфигурации начальных данных. Для всех этих задач, существование решений должно быть достигнуто при помощи аккуратной аппроксимации решений численными методами, причем арсенал используемых методов зависит от конкретной задачи и может быть тесно связан с самим процессом построения модели. Построение таких моделей должно, в среднесрочной перспективе, привести к постановке задач управления транспортными и пешеходными потоками при помощи мобильных приложений. Исследование задач управления, в гиперболических уравнениях и системах, сильно усложняется наличием особенностей типа ударных волн. В этой связи, Ж.М. Короном был поднят вопрос о принципиальной возможности решения некоторых задач управления даже и в регулярном (параболическом) случае уравнения Бюргерса. Есть серьезные основания считать что ответ на этот вопрос отрицательный, но для сравнительно элементарного решения поставленнойзадачи должна быть построена упрощенная теория ренормализованных решений таких уравнений с переносом на этот случай результатов компенсированной компактности типа ДиПерны и их обобщений полученных Е.Ю. Пановым. В задаче об описании асимптотических свойств обобщенных решений квазилинейных параболических уравнений в окрестности времени сингулярного обострения граничного режима (т. е. граничных данных) к настоящему времени найдены предельные ограничения сверху на интенсивность обострения, приводящие к решениям с нулевой, но конечной мерой множества «blow-up», т.е описаны так называемые S-режимы. Для более интенсивных граничных режимов (так называемых HS-режимов) найдены точные оценки сверху распространения волны сингулярности. В рамках проекта предполагается изучить произвольные менее сингулярные, чем S-режимы, так называемые LS-режимы, и установить точные оценки сверху на предельный профиль решения в окрестности времени обострения в зависимости от асимптотики соответствующего LS-режима. На основе этого анализа планируется изучит свойства «больших» решений различных классов уравнений типа нестационарной диффузии-нелинейной абсорбции с вырождающимся в некоторый конечный момент времени абсорбционным потенциалом. Предполагается дать точное описание распространения особенностей «больших» решений с границы области внутрь области вдоль многообразия вырождения абсорбционного потенциала. Кроме того для различных классов эллиптических и параболических уравнений типа стационарной и нестационарной диффузии-нелинейной абсорбции с абсорбционным потенциалом, вырождающимся на некоторых многообразиях, выходящих на границу соответствующей области или начальную плоскость, предполагается установить точные необходимые и достаточные условия (а в некоторых случаях и критерий) на характер вырождения потенциала, гарантирующие существование или несуществование суперсингулярных решений с точечной сингулярностью в точке пересечения указанного выше многообразия и границы соответствующей области или начальной плоскости. Предполагается рассмотреть ряд задач о существовании и несуществовании глобальных решений различных классов стационарных и эволюционных уравнений с нелинейным источником в духе теорем Фужиты. Так, планируется установить условия эффекта «blow-up» решений, условия устранимости особенностей, установить условия стабилизации решений на бесконечности для широких классов эллиптических, параболических и некоторых бестипных уравнений высокого порядка. Будет продолжено изучение эффекта «blow-up» решений задачи Коши и задач в четверти пространства для модельных нелинейных уравнений современной математической физики: обобщенных уравнений Хохлова-Заболоцкой, уравнений ионно-звуковых волн в плазме, уравнений Розенау-Бюргерса, уравнений типа Бенджамина-Бона-Махони-Бюргерса, а также различных вариантов уравнений акустических и электромагнитных волн в сплошных средах. Будет изучено разрушение и мгновенное разрушение решений нелинейных эволюционных уравнений с некоэрцитивными нелинейностями вида производной от квадратичной нелинейности. Планируется также изучить влияние коэффициентов при больших значениях времени на глобальную разрешимость начально-краевых задач для нелинейных параболических уравнений с нелокальными членами в уравнении и граничном условии. При этом предполагается исследовать задачи с нелокальными членами как переменным так и по времени.