Разработка эффективных численных методов для решения трехмерных задач быстрой и медленной динамики деформируемого твердого тела на базе ажурных и моментных схем метода конечных элементов

В настоящее время расчеты конструкций и процессов в деформируемых средах проводятся как правило с использованием инженерных пакетов: ANSYS, Nastran, ABAQUS и других. Большинство из них являются иностранными (в первую очередь американскими). Разрабатываемые отечественные инженерные пакеты (ЛОГОС и другие) как правило всё еще уступают лучшим иностранным как по пользовательскому интерфейсу, так и по быстродействию. Поэтому задача разработки новых эффективных численных методов для таких расчетов актуальна как с точки зрения получения конкурентных преимуществ, так и с точки зрения безопасности. Тем более, что конкуренты тоже не стоят на месте. В проекте предполагается разработка программных средств решения задач механики деформируемого твердого тела на базе ажурных и моментных схем МКЭ. Как известно, классическая схема на базе 4-узлового конечного элемента в виде тетраэдра с линейной аппроксимацией перемещений в элементе обладает завышенной сдвиговой жесткостью, следствием чего является медленная сходимость численных решений. В некоторых исследованиях показано, что сходимость схем МКЭ может быть связана с взаимным расположением конечных элементов в расчетной сетке. Было установлено, что быструю сходимость обеспечивает схема с «ажурным» расположением конечных элементов, когда между расчетными элементами имеются регулярные промежутки. В частности, хороший результат показала «ажурная схема», в которой в каждой ячейке гексаэдрической сетки находится один расчетный 4-узловой элемент в виде тетраэдра, а остальные 4 элемента в расчетах не участвуют. Данная схема была реализована как явная схема типа «крест» и подробно исследована применительно к трёхмерным нестационарным динамическим задачам теории упругости и пластичности. По итогам исследований можно сделать следующие выводы. У ажурной схемы отсутствуют нежелательные эффекты завышенной сдвиговой жесткости и неустойчивости типа «песочные часы». Она кратно превосходит традиционные схемы по экономичности и превосходит их по точности. При решении задач медленной динамики явные схемы уступают по эффективности неявным. Предлагается реализация неявных ажурных схем для решения медленных задач. По предварительным оценкам, данные схемы по быстродействию должны примерно на порядок превосходить аналогичные традиционные неявные схемы МКЭ. Идея применения ажурных схем получила дальнейшее развитие. Новые численные схемы можно строить путем проецирования ажурных схем более высокой размерности. Так, проецируя трехмерную ажурную схему на двумерную сетку, получим двумерную схему МКЭ. Шаг сетки по третьей координате при этом превращается в регулируемый параметр схемы. Данная схема содержит дополнительный оператор, аппроксимирующий изгибающий момент в элементе, влияние которого можно регулировать. Поэтому схему (конечный элемент) можно назвать моментной. Есть все основания полагать, что положительные свойства исходной ажурной схемы сохранятся. Аналогичным образом строится трёхмерная моментная схема МКЭ, которая содержит 4 параметра, позволяющих регулировать учет трех изгибающих и одного крутящего момента в элементе. Моментная схема практически не изучена. В частности, необходимо решить проблему оптимального подбора параметров. В проекте предполагается исследование явных и неявных моментных схем, их верификация, валидация, сравнение с традиционными схемами по точности и эффективности. На практике инженерные пакеты позволяют решать более широкий круг задач, которые невозможно реализовать в одном небольшом проекте. В частности, это контактные задачи, задачи взаимодействия деформируемых тел с жидкостью и газом и т.д. В НИИ механики ННГУ имеется программный комплекс, позволяющий решать данные трехмерные задачи на базе схемы С.К. Годунова. В рамках проекта предполагается проведение работ по совместному использованию данного программного комплекса и расчетных модулей на базе ажурных и моментных схем. Это позволит расширить возможности обеих вычислительных методик.