Алгоритмы и методы повышения эффективности управления гидродинамическими процессами на основе стохастических систем

Целью проекта является разработка алгоритмов численного и аналитического решения задач управления процессами, описываемых с помощью неклассических моделей математической физики со случайными состояниями. Для повышения эффективности управления процессами рассматривается задача минимизации компромиссного функционала, который может описывать различные задачи управления в зависимости от цели, например, расходуемые ресурсы на управление, в задачи оптимального управления решениями. Для реализации поставленной цели необходимо провести исследование существования и единственности решения начально-краевых задач для стохастических (полу)линейных неклассических уравнений математической физики, исследовать различные классы задач управления и разработать алгоритмы, реализующие решения данных задач. Проект носит фундаментальный характер и направлен на развитие теории оптимального управления, теории семейств разрешающих операторов, теории уравнений в частных производных. Реализация проекта позволит расширить спектр прикладных задач, которые могут быть численно исследованы за счет разработки новых и модификации существующих численных методов; повысить эффективность численных методов решения математических моделей управления за счет использования условия Шоуолтера – Сидорова и доказательства сходимости приближенных решений. Нас будут интересовать разрешимость задачи Шоуолтера – Сидорова и разрешимость многоточечной начально-конечной задачи для вырожденных стохастических дифференциальных моделей Баренблатта – Желтова – Кочиной и Осколкова методом фазового пространства. Данные задачи позволяют получить ряд приложений в рамках природопользования для сложных гидродинамических систем «пласт – скважина – коллектор», которые имеют трещиновато-пористую структуру. Прибегая к стохастической интерпретации уравнений в частных производных, в этой работе нас будет интересовать иное представление стохастических моделей, отличительной особенностью которых является понятие «белого шума» в смысле производной Нельсона – Гликлиха от одномерного винеровского процесса. Также «белый шум» использовался в теории оптимальных измерений, где для него пришлось строить специальное пространство дифференцируемых К-«шумов». Данная парадигма не только обосновала согласованность с теорией Энштейна – Смолуховского, позволяющей понимать под броуновским движением искомый стохастический процесс, а под производной от этого процесса – «белый шум», но и сподвигла к появлению нового направления изучения стохастических уравнений соболевского типа. В качестве результатов проекта планируется получить универсальные алгоритмы решения задачи оптимального управления решениями начально-краевых задач для неклассических уравнений математической физики, описывающих различные гидродинамические явления, а также разработать аналитические и численные методы исследования таких задач. Разработанные алгоритмы, будут апробированы, в частности, на математических моделях нелинейной диффузии, движения подземных вод со свободной поверхностью, фильтрации жидкости в трещиновато-пористой среде, движения волн на мелкой воде, в основе которых лежат неклассические уравнениям математической физики. В силу того, что величины, определяемые такими уравнениями (например, плотность, давление и др.) не могут принимать отрицательные значения, то желательно получить заведомо неотрицательно определенное решение (позитивное решение). Проект дополнительно нацелен на разработку нового научного направления, связанного с изучением позитивных решений (полу)линейных уравнений соболевского типа.