Краевые задачи и задачи граничного управления для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа

Выполнены исследования классических задач для параболо-гиперболического уравнения Лаврентьева - Бицадзе: задачи Трикоми, Франкля, Геллерстедта. Особенность постановок задач в том, что при рассмотрении трехмерных областей возникают сложности с отысканием корректных постановок. Основной метод, используемый при исследованиях, - спектральный метод, разработанный Е.И. Моисеевым, позволяет представить решения каждой задачи явно в виде функциональных рядов, исследуются единственность и регулярность построенных решений; показано, что функциональные ряды, входящие в решения построенных задач, сходятся равномерно и абсолютно. Исследована задача граничного управления колебаниями одномерного упругого стержня. Рассмотрен случай управления силой при наличии граничного условия, содержащего наклонную производную. Такое граничное условие можно трактовать как условие торможения, связанного с вязкостью среды, в которую погружен конец стержня. Это условие упоминается как одно из классических граничных условий в классическом учебнике А.Н. Тихонова, А.А. Самарского «Уравнения математической физики», а в зарубежной литературе его называют damping\anti-damping condition; в последнее время задачи управления колебательными процессами с граничными условиями такого типа имеют большую актуальности в связи с моделированием бурения. Исследована обобщенная разрешимость соответствующей начально-краевой задачи, решение было построено в явном аналитическом виде, что позволило далее провести оптимизацию найденного граничного управления. Начато исследование краевой задачи для уравнения смешанного типа, от классического уравнения Лаврентьева - Бицадзе отличие в геометрии области. Исследуется, какие функции могут быть собственными для этой задачи в гиперболической и параболической частях области.