Исследование обратных и условно-корректных задач естествознания

Объект исследования: обратные задачи математической физики, новые задачи томографии, методы их численного решения. Цель: получение новых научных результатов в теории обратных задач и задач томографии, создание эффективных методов их решения. Продолжены исследования, связанные с теорией обратных задач для уравнений математической физики, описывающих процессы в неоднородных средах, и исследования задач тензорпой томографии. Получены новые результаты, связанные с продолжением решений дифференциальных уравнений гиперболического и параболического типов с части границы области внутрь ее, в частности, найдены оценки устойчивости и построены численные алгоритмы решения задач продолжения. Рассмотрена обратная задача восстановления показателя преломления осесимметричного объекта по данным гильберт-оптики, разработан численный метод ее решения. На основе обобщения преобразования Коула - Хопфа для параболических уравнений с источником получены новые представления решений и коэффициентов нелинейных параболических уравнений математической физики, которые фактически являются дифференциально-алгебраическими тождествами. Приведен эффективный численный метод решения задач двумерной векторной и 2-тензорной томографии, основанный на методе приближенного обращения. Алгоритм существенно обобщен: предложены два подхода по восстановлению двумерных симметричных m-тензорных полей произвольной валентности. Рассмотрена задача восстановления трехмерных скалярных, векторных и симметричных 2-тензорных полей по известным значениям преобразования Радона и нормального преобразования Радона. Разработаны подходы реконструкции потенциальной части векторных и симметричных 2-тензорных полей с использованием метода приближенного обращения.