ОТЧЕТ О НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ С РАЗЛИЧНЫМИ ТИПАМИ ОСОБЕННОСТЕЙ В РЕШЕНИИ: РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ, ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И ИТЕРАЦИОННАЯ АППРОКСИМАЦИЯ проект РФФИ № 15-01- 00629 (итоговый)

Для линейного некорректно поставленного операторного уравнения с решением, представимым в виде суммы трёх компонент с различными свойствами гладкости, предложен и исследован модифицированный вариант метода Тихонова со стабилизаторами в форме суммы обобщенной вариации функции и её производных. Доказаны сходимость приближённых решений и устойчивость дискретных аппроксимаций. Для решения задачи деконволюции, возникающей при интерпретации данных гидродинамических испытаний скважин, построен высокоточный метод, надежно работающий в условиях больших погрешностей и разрывных входных данных. Для конечномерных нелинейных обратных задач выделен класс уравнений с неотрицательным спектром для производной, для которых обоснован двухэтапный метод построения регуляризующего алгоритма, основанного на регуляризации Лаврентьева и итерационной аппроксимации методом Ньютона. Для некорректно поставленных задач локализации линий разрыва зашумленной функции двух переменных исследованы вопросы дискретизация широкого класса методов усреднения; построены и исследованы новые экономичные методы локализации с изменяемой областью усреднения. Для частного случая, когда линии разрыва являются отрезками, построены и исследованы (получены оценки) глобальные алгоритмы аппроксимации множества отрезков множеством точек. Для задачи локализации скачков первого рода функции одной переменной построены и исследованы методы определения границ групп особенностей, не разделяющихся в рамках заданной точности. Разработаны и исследованы новые методы идентификации параметра в задаче локализации особенностей решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода с лоренцовским ядром, зависящим от числового параметра.